我在我50多岁的时候，因为太老而不能成为一个真正的专家，我终于爱上了代数几何。顾名思义，这是一门运用代数研究几何的学科。大约在1637年，René笛卡尔为这门学科打下了基础，他画了一个平面，在脑海中画一个网格，就像我们现在用坐标纸做的那样，然后调用坐标x和y．我们可以写出这样一个方程x2+y2= 1，则有一条由坐标服从该方程的点组成的曲线。在这个例子中，我们得到一个圆!
这是一个当时是一个革命性的想法，因为它让我们系统地将关于几何问题的问题转换为关于方程的问题，如果我们在代数上足够好，我们可以解决。一些数学家在这位雄伟的主题上度过了整个生活。但我从来没有真正喜欢它，直到最近 - 现在已经把它与我对量子物理学的兴趣相连。
如果我们能够弄清楚如何将拓扑降低到代数，它可能有助于我们制定量子重力理论。
小时候，我喜欢物理胜过数学。我的叔叔阿尔伯特·贝兹，著名民谣歌手琼·贝兹的父亲，曾为联合国教科文组织工作，帮助发展中国家进行物理教育。我父母住在华盛顿特区。每当我叔叔进城时，他都会打开行李箱，拿出磁铁或全息图之类的东西，用它们向我解释物理学。这是迷人的。我8岁时，他给了我一本他写的大学物理教科书。虽然我不明白，但我马上就知道我通缉到。我决定成为一个物理学家，我的父母有点担心，因为他们知道物理学家需要数学，而且我似乎并不那么擅长。我发现了长期不可思议的无聊，拒绝做我的数学作业，其无穷无尽的重复训练。但后来，当我意识到通过摆弄等方程，我可以了解宇宙，我被迷上了。这些神秘的符号就像魔法咒语。在某种程度上，他们确实是。科学是真正有效的魔法。
在大学里，我主修数学，并对理论物理学家尤金·维格纳关于数学“不合理的有效性”的问题感到好奇:为什么我们的宇宙如此容易受数学定律支配?正如他所言:“数学语言恰当地表述物理定律的奇迹是一份奇妙的礼物，我们既不理解，也不配得到。”作为一名年轻的乐观主义者，我觉得这些定律将为我们解答一个更深层次的谜题提供线索:为什么宇宙最初是由数学定律支配的。我已经知道要学的数学太多了，所以，在研究生院，我试着专注于对我重要的东西。有一件事起了作用不是对我来说是代数几何。
任何数学家怎么样？不是爱上代数几何?原因如下:在它的经典形式中，这个主题只考虑多项式等式 - 不仅仅是曲线的等式，而且称为“品种”的高度形状。所以，x2+y2＝1很好，所以是x43.- - - - - -2XY.2= Y.7但是，具有诸如诸如诸如域或其他功能的等式 - 除非我们能够弄清楚如何将其转换为具有多项式的等式。作为研究生，这似乎是一个可怕的限制。毕竟，物理问题涉及许多不是多项式的功能。
代数几何形状为什么将自己限制在多项式中？数学家研究了各种功能，但虽然它们非常重要，但在某些级别中，他们的并发症只是几何和代数之间关系的基本奥秘的分心。通过限制他们调查的广度，代数几何可以深入挖掘这些谜团。他们一直这样做是几个世纪，现在他们对多项式的掌握真正令人惊叹：代数几何形状已经成长为数字理论，加密和许多其他科目的强大工具。但是为了它的真实奉献者，它本身就是一端。
我曾经在哈佛达毕业生见过一名毕业生，我问他他在学习什么。他说了一个单词，处于平整的语气：“哈特山脉”。他的意思是罗宾哈特康诺的教科书代数几何，出版于1977年。这本书应该是对这一主题的介绍，但实际上是一本非常有冲击力的大部头。考虑维基百科的描述:
第一章标题为“品种”，涉及代数封闭领域品种的经典代数几何形状。本章在换向代数中使用许多古典结果，包括希尔伯特的Nullstellenszz，由Atiyah-Macdonald，Matsumura和Zariski-Samuel的书籍作为常用的参考。
如果你看不懂这个…这正是我想说的。即使要读懂《哈茨霍恩》的第一章，你也需要相当多的背景知识。读哈茨霍恩的书就是要努力赶上几个世纪以来那些拼命奔跑的天才们。
哈茨霍恩的论文导师亚历山大·格罗腾迪克就是这些天才之一。从1960年到1970年，格罗腾迪克彻底改变了代数几何，这是证明韦尔猜想的史诗般的探索的一部分，韦尔猜想是数论中某些问题的解决方法的变体。格罗腾迪克猜测，韦尔猜想可以通过加强和深化几何和代数之间的联系来解决。他对这件事的结果有一个具体的想法。但是要使这个想法精确需要做大量的工作。为了实现这个目标，他发起了一个研讨会。他几乎每天都做演讲，并得到了巴黎一些最优秀的数学家的帮助。
他们不间断地工作了十年，写出了成千上万页的新数学，充满了令人惊叹的概念。最后，格罗腾迪克运用这些思想，成功地证明了所有的韦尔猜想，除了最后一个，也是最具挑战性的一个。令格罗腾迪克大为惊讶的是，他的一个学生把这句话写完了。
在他最富有成效的岁月中，即使他主导了法国代数几何学学院，许多数学家都考虑了Groothendieck的想法“太抽象”。这听起来有点奇怪，鉴于摘要所有数学是。毋庸置疑的是，吸收他的思想需要时间和努力。作为一名研究生，我避开了它们，因为我忙于努力学习物理学:在那里，几个世纪以来的天才们也在全速工作，任何想要达到前沿的人都有很多事情要做。但是，在我职业生涯的后期，我的研究让我想到了格罗腾迪克的作品。
我采取了不同的道路，我可能会抓住他的工作弦理论．字符串理论家假设除了空间和时间的可见尺寸和空间的可见尺寸之外，其中一个空间之一 - 有额外的空间尺寸卷曲太小，无法看到。在他们的一些理论中，这些额外的尺寸形成了各种各样的尺寸。因此，String理论家很容易被拉入关于代数几何的复杂问题。而这反过来，将它们拉向格罗罗腾。
实际上，弦乐理论的一些最好的广告不是对实验结果的成功预测 - 它绝对没有这些 - 而是它的能力，而是解决纯数学中的问题，包括代数几何形状。例如，字符串理论令人震惊地善于计算您可以在某些品种上绘制的不同种类的曲线。因此，我们现在看到String Thanorists与代数几何交谈，每个人都能够用他们的见解让另一个惊喜。
我对Grothendieck的工作的兴趣有一个不同的来源。我总是对字符串理论严重怀疑，并计算品种的曲线是我曾经尝试的最后一件事：喜欢攀岩，看起来很令人兴奋，但实际上尝试它。事实证明，Groothendieck的想法是普遍性的，并且他们将超越代数几何形状泄漏到许多其他科目之外。特别是他的600页未发表的手稿追求堆栈这本书写于1983年，给我留下了深刻印象。在书中，他论证了这一点拓扑——非常松散地说，关于空间可以形成什么形状的理论，如果我们不关心它的弯曲或拉伸，只关心它有什么样的洞——可以完全归结为代数!
起初，这个想法听起来就像代数几何，我们用代数来描述几何形状，比如曲线或高维变量。但是“代数拓扑学”最终有一个非常不同的风格，因为在拓扑学中，我们不限制我们的形状被多项式方程描述。我们处理的不是美丽的宝石，而是松软、灵活的斑点——所以我们需要的代数是不同的。
代数拓扑是一个美丽的主题，在格罗罗伯克 - 但他是第一个认真提议减少方法之一所有拓扑到代数。由于我对物理学的工作，当我遇到它时，他的提议非常令人兴奋。这就是为什么：当时我挑战了统一统一的物理学理论的挑战：量子物理学，它描述了除重力之外的所有力量，以及描述重力的一般相对性。似乎在我们这样做之前，我们对物理基本规律的理解被注定为不完整。但它是难以的。一个原因是量子物理基于代数，而普通相对论涉及大量拓扑。但这表明攻击途径：如果我们能够弄清楚如何将拓扑减少到代数，它可能有助于我们制定量子重力理论。
我的物理同事会在这里露出一个HOW，并抱怨我正在过度简化。是的，我过于简化：量子物理学比仅仅是代数，更重要的是拓扑。尽管如此，对代数减少拓扑物理学的可能效益是让我对Groothendieck的工作感到非常兴奋。
因此，从20世纪90年代开始，我试图理解格罗腾迪克发明的强大的抽象概念——到现在，我已经部分成功了。一些数学家发现这些概念是代数几何中最难的部分。现在对我来说，它们似乎是比较容易的部分。对我来说，困难的部分不是这些抽象的概念，而是实质的细节。首先，Hartshorne将这些文本中的所有材料作为先决条件:“atiya - macdonald, Matsumura, and Zariski-Samuel的书”，简而言之，就是成堆的代数。但还有更多的原因。
这些神秘的符号就像魔法咒语。在某种程度上，他们确实是。科学是真正有效的魔法。
所以，我现在有一些直到最近，我都不敢去学习它。一个学物理的学生曾经问一位著名的专家，一个物理学家需要知道多少数学知识。专家回答:“更多。”事实上，学习数学的工作从来没有完成过，所以我专注于那些看起来最重要和/或最有趣的事情。直到去年，代数几何从未登上排行榜的首位。
改变了什么？我意识到代数几何形状连接到经典物理学和量子物理学之间的关系．古典物理学是牛顿的物理学，我们想象我们可以通过完全精确度，至少原则上可以衡量所有的一切。量子物理学是Schrödinger和Heisenberg的物理，受到不确定性原则的管辖：如果我们通过完全精确度测量物理系统的一些方面，其他方面必须保持不确定。
例如，任何旋转物体具有“角动量”。在经典力学中，我们将其视为沿旋转轴线指向的箭头，其长度与物体旋转的快速成比例。在古典机制中，我们假设我们可以精确测量此箭头。在量子力学中 - 更准确的现实描述 - 这结果不是真的。例如，如果我们知道这个箭头点有多远x方向，我们无法知道它在其中指向多远y方向。这种不确定性太小，不能对于旋转篮球来说是明显的，但对于电子来说，这是重要的：物理学家直到他们考虑到这一点直到他们对电子进行了艰难的理解。
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物理学家通常希望“量化”古典物理问题。也就是说，他们从一些物理系统的经典描述开始，他们想弄清楚量子描述。这样做，没有完全一般和完全系统的程序。这不应该令人惊讶：这两个世界观如此不同。但是，那里有是有用的量化配方。最具系统性的，适用于非常有限的物理问题选择。
例如，有时在经典物理学中我们可以用a中的一点来描述一个系统种类．这不是一个通常期望的东西，但它发生在很多重要的情况下。例如，考虑一个旋转对象：如果我们修复其角动量箭头的长度，箭头仍然可以指向任何方向，因此其提示必须位于球体上。因此，我们可以通过球体上的点描述旋转物体。这个领域实际上是一种品种，“riemann球体“以伯恩哈德·瑞曼命名为18世纪的最大代数几何之一。
当一个经典的物理问题被多种描述时，一些神奇的事情就发生了。量子化的过程变得完全系统化，而且惊人地简单。甚至还有一种反向过程，人们可以称之为“经典化”，它可以让你把量子描述变成经典描述。物理学的经典和量子方法紧密联系在一起，人们可以从任何一种方法中获得想法，看看他们对另一种方法的看法。例如，变体上的每个点不仅描述了经典系统的一个状态(在我们的例子中，角动量的一个确定方向)，而且还描述了相应的量子系统的一个状态——尽管后者是由海森堡所控制的不确定性原则．量子状态是到经典状态的“最佳量子近似”。更好的是，在这种情况下，许多关于代数几何形状的基本定理可以被视为关于量化的事实。由于量化是我一直在想长时间的东西，这让我很开心。
Richard Feynman曾经说过，为他在一个艰难的物理问题上取得进展，他需要对它有某种特殊角度：
[......]我必须认为我对这个问题有某种内部追踪。也就是说，我有一些人的人才，其他人不使用或某种方式寻找，他们是愚蠢的，不要注意到这种精彩的方式来看待它。出于某种原因，我必须觉得我有比其他家伙更好的机会。我在我的心里知道，原因可能是假的，可能是我带着的特殊态度被别人想到了。我不在乎;我愚弄自己思考我有额外的机会。
直到现在，这可能是我在代数几何上缺少的东西。当然，代数几何不仅仅是一个问题，它是一个知识的身体 - 但这是一个如此大，令人生畏的知识体，直到我在内线轨道之前直到我疯狂地解决它。现在我可以阅读Hartshorne，将一些结果翻译成物理学的事实，并觉得我有机会理解这些东西。这是一种很好的感觉。
John Baez是加州大学的数学教授，Riverside和新加坡Quantum Technologies中心的访问研究员。他关于数学，科学和环境问题的博客方位．跟着他在推特上@johncarlosbaez．
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