真实世界的不可能的数学

U克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）用硬纸和透明胶带组合成了一个美丽的圆形，看起来像是巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller）的作品或一种别致的新型足球。它由四个正十二边形（所有角度和边都相同的12边多边形）和12个十边形（10边）组成，有28个等边三角形形状的小间隙。只有一个问题。这个数字应该是不可能的。这组多边形在顶点处不会相交。这个形状无法闭合。

卡普兰的模型之所以有效，是因为用纸组装时会有晃动的空间。侧面可能会有一点扭曲，几乎是不可察觉的。“在现实世界中用纸工作产生的捏造因素意味着本来不可能的事情实际上并不是。”加拿大滑铁卢大学的计算机科学家卡普兰说。

这是美国数学家诺曼·约翰逊(Norman Johnson)在20世纪60年代偶然发现的一类意想不到的数学对象的一个新例子。约翰逊当时正致力于完成柏拉图早在2000多年前就开始的一个项目:对几何完美进行分类。在无限多种三维形状中，只有五种可以由相同的正多边形构成:四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体。如果你混合和匹配多边形，你可以从每一个顶点以相同的方式相遇的正多边形——阿基米德立体——以及棱镜(两个相同的多边形由正方形连接)和“反棱镜”(两个相同的多边形由等边三角形连接)形成另外13个形状。

1966年，当时就读于密歇根州立大学的约翰逊发现了另外92个仅由正多边形组成的实体，现在称为约翰逊实体。几年后，当时就读于列宁格勒州立大学的俄罗斯数学家维克托·萨加勒证明了这一点。他用尽了所有的可能性。不可能形成任何其他闭合形状它是由正多边形组成的。

然而，在完成多面体的清单时，约翰逊注意到一些奇怪的事情。他通过用纸板和橡皮筋做模型发现了自己的形状。由于可能存在的多面体相对较少，他预计任何新的多面体都会很快出现。一旦他开始把两边放好，形状就会自然而然地合在一起。但这并没有发生。约翰逊回忆道:“当你组装一堆多边形时，你并不总是能够清楚地看到，组装出来的是一个合法的图形。

它们看起来对解决方案非常开放，但最终证明是不可能的。

他说，一个模型似乎可以组合在一起，但“如果你做一些计算，你会发现它并不是完全成立的。”仔细一看，原来看起来像正方形的东西其实不是正方形，或者说其中一张脸不是很平。如果你把脸修剪一下，它们就会完全合在一起，但之后它们就不再完全是规则的了。

为了一一列举出完美的立体，约翰逊并没有对这些几乎没有注意到的东西给予太多的关注。他说:“我把它们放在一边，专注于那些有效的。”但这种近乎完美的方法不仅吸引了卡普兰和其他数学爱好者的兴趣，它还是一个庞大的近乎完美数学课程的一部分。

对未遂事件没有精确的定义。不可能。在不稳定的现实世界中，硬性规定是没有意义的。目前，卡普兰在寻找新的“约翰逊小姐”时依靠的是一条经验法则真实的,数学错误固体的固有特性与使用真实世界的材料和你不完美的手所产生的实际错误相当。”换句话说，如果你成功地构建了一个不可能的多面体，如果它非常接近可能，你可以捏造它，那么多面体就差一点了。在数学的其他部分，未遂事件是一个足以让你惊讶或愚弄你的事件，一个数学笑话或恶作剧。

一些数学上的“侥幸”，就像“侥幸”的约翰逊固体一样，只不过是一种新奇的东西，而另一些则对数学和物理学有着更深的意义。

T古老的问题，如圆的平方和立方体的加倍，都可以归于侥幸。它们看起来很容易解决，但最终证明是不可能的，就像一个几何图形，似乎它必须关闭，但不能。列奥纳多·达·芬奇(Leonardo da Vinci)和阿尔布莱希特·Dürer (Albrecht Dürer)的一些圆规和直边结构对角度进行了篡改，产生了近乎规则的五边形，而不是真实的五边形。

然后是缺失的方块拼图。在上图中，一个直角三角形被切成四块。当这些碎片重新排列时，就会出现一个缺口。它从哪里来的?这两个“三角形”都不是真正的三角形。斜边不是一条直线，但有一个小弯曲，斜率从蓝色三角形的0.4到红色三角形的0.375。这种缺陷几乎是察觉不到的，这就是为什么这种错觉如此引人注目。

数字上的巧合也许是日常生活中最有用的“侥幸”^7/12几乎等于3/2。这就是钢琴在一个八度音阶上有12个键的原因，也是西方音乐中平均律系统的基础。它在两个最重要的音乐音程之间达成了妥协:一个八度音程(频率比2:1)和一个五度音程(频率比3:2)。在数字上不可能细分一个八度，以确保所有的五度都是完美的。但是你可以把八度音阶分成12个相等的半步，其中7个给出的频率比是1.498。这对大多数人来说已经足够了。

有时，数学领域也会出现差之毫厘的情况，就好像数学在给自己开一个玩笑。在恐怖树屋六集《辛普森一家》在美国，喜欢数学的观众可能会注意到一些令人惊讶的事情:1782年的方程¹²+ 1841¹²= 1922¹²．一时间，编剧似乎证明了费马大定理的错误x^N+Y^N=Z^N什么时候没有整数解N大于2。如果你把这些数字输入袖珍计算器，这个等式似乎是有效的。但如果你用比大多数手工计算器更精确的方法来计算，你会发现方程左侧的第12根是1921.999999955867，而不是1922，费马可以安息了。这是一个惊人的差距，不到千万分之一。

但未遂事件不仅仅是笑话。加利福尼亚大学的数学家John Baez说：“对我来说，最吸引人的是那些有可能成为一个大故事的线索。”这就是有时称为Ramanujan常数的数字的情况。这个号码是E^π√163，大约等于262,537,412,640,768,743.999999999999999925——惊人地接近一个整数。先天的，我们没有理由期望这三个无理数-Eπ和√163应该以某种方式组合成一个有理数，更不用说是一个完全整数了。他们这么接近是有原因的。贝兹说:“这不是什么我们不了解的巧合。”“这是一条通往深奥数学的线索。”确切的解释很复杂，但取决于163是所谓的Heegner数这一事实。与这些数相关的指数几乎是整数。

或者以数学关系为例，这个数学关系被幻想地称为“可怕的私酒”。据说，1978年数学家约翰·麦凯（John McKay）做了一个观察，既微不足道，又异常具体：196884=196883+1。第一个数字196884是一个重要的多项式中的系数，称为J-不变量，196883与一个巨大的数学对象有关，这个对象被称为怪物群。许多人可能会耸耸肩，然后走开，但这些观察引起了一些数学家的兴趣，他们决定进一步研究。他们发现了两个看似无关的学科之间的联系:数论和怪物群的对称性。这些联系甚至可能对其他学科有更广泛的意义，但尚未被理解。物理学家爱德华·威腾(Edward Witten)认为，怪兽群可能与量子引力和时空的深层结构有关。

M数学上的近距离接触显示了人类接触数学的力量和乐趣。约翰逊、卡普兰和其他人的发现是通过反复试验——通过探索，就像生物学家在雨林中跋涉寻找新物种一样。但有了数学，系统地搜索就容易多了。例如，数学爱好者吉姆·麦克尼尔(Jim McNeill)和计算机程序员罗伯特·韦伯(Robert Webb)已经开发了用于创建和研究多面体的软件。

在理想主义的、不屈的数学和我们放纵的、实际的感觉之间的模糊界限中，存在着侥幸。它们颠倒了近似的逻辑。通常，现实世界只是柏拉图世界的一个不完美的影子。基础数学的完善在可实现的条件下就丧失了。但现实世界是一个不完美领域的完美阴影。卡普兰说，近似是“对正确答案的不正确估计”，而“近似是对几乎正确答案的精确表示”。

通过这种方式，near miss改变了数学家和数学物理学家与自然世界的关系。卡普兰说:“我很感激现实世界的不完美，因为它让我对那些我知道本质上并不完美的物体实现了一种准完美。”“它让我克服了数学的局限性，因为现实的美丽破碎。”

伊芙琳·兰姆是一位专门研究复杂分析的数学家。她写了大量关于数学和科学的文章。她为美国数学学会和自己的博客“统一之根”写博客。@evelynjlamb

主要图片来源:Comaniciu Dan / Shutterstock

本文最初发表于2017年6月的《荒谬》杂志。