混乱使多元宇宙变得不必要

年代科学家们环顾宇宙，看到了惊人的结构。有非常复杂的物体和过程。我们宇宙中的每一个行为都遵循精确的自然法则，这些法则用数学语言完美地表达出来。这些自然法则似乎是精心调整的，以带来生命，特别是智慧生命。这些自然法则到底是什么?我们如何找到它们?

宇宙是如此有结构和有序，以至于我们把它比作当时最复杂和最精确的装置。在18和19世纪，宇宙被比作一个运转完美的时钟或手表。哲学家们接着讨论钟表匠。在20世纪和21世纪，最复杂的东西是计算机。宇宙被比作一台运行完美的超级计算机。研究人员询问这台电脑是如何编程的。

如何解释所有这些结构？为什么法律似乎如此完美的生育，为什么他们以这种确切的数学语言表达？宇宙真的是结构似乎的结构吗？

其中一些问题的答案是柏拉图主义(或它的表亲现实主义)。这是一种相信自然规律是客观存在的信念。在柏拉图的王国里，它们拥有一种精确的理想形态。这些定律处于完美状态，它们形成了我们周围的宇宙。这一领域不仅存在自然法则，而且与所有完美的数学共存。这应该有助于解释为什么定律是用数学语言写成的。

柏拉图主义还有很多不足之处。主要的问题是柏拉图主义是形而上学，而不是科学。然而，即使我们承认这是事实，仍有许多问题有待解决。为什么这个柏拉图式的世界有这些法则，把智慧生命带进宇宙，而不是其他法则?这个柏拉图式的阁楼是怎么建起来的?为什么我们的物质世界要遵循这些空灵的规则?科学家和数学家怎样才能接触到柏拉图那装满精确理想的小宝库呢?

多元宇宙是另一个最近相当流行的答案。这个理论试图解释为什么我们的宇宙有赋予生命的法则。相信多元宇宙的人认为我们的宇宙只是众多宇宙中的一个。每个宇宙都有自己的一套规则，以及伴随这些规则而来的自己可能的结构。推动多元宇宙理论的物理学家认为，每个宇宙的定律都有点武断。我们之所以看到宇宙中适合生命的结构，是因为我们恰好生活在极少数有这样规律的宇宙中。虽然多元宇宙解释了我们看到的一些结构，但仍有一些问题悬而未决。与其问宇宙为什么有这样的结构，我们可以把这个问题推回去问多元宇宙为什么有这样的结构。另一个问题是，虽然多元宇宙会回答我们提出的一些问题，如果它存在，谁说它确实存在？因为大多数人认为我们与其他可能的宇宙没有联系，多元宇宙存在的问题本质上是形而上学。

这几乎是一种重复:科学预测可预测的现象。

对于自然法则的结构，还有另一种更有趣的解释。不要说宇宙是非常有结构的，而是说宇宙大部分是混乱的，大部分是缺乏结构的。我们之所以能看到这样的结构，是因为科学家们像筛子一样，只关注那些有结构且可预测的现象。他们没有考虑到所有的现象;相反，他们选择那些他们可以处理的现象。

有人说科学研究所有的物理现象。这根本不是真的。谁将赢得下届总统选举并入主白宫是一个物理问题，没有哪个严谨的科学家会冒险给出一个绝对的预测。计算机是否会因为输入而停止运行，这是一个物理问题，但我们从艾伦·图灵那里了解到，这个问题是无法回答的。科学家们已经对不同类型的云的大致纹理和高度进行了分类，但总的来说，他们对云的确切形状根本不感兴趣。虽然这种形状是一种物理现象，但科学家们甚至没有试图去研究它。科学并不研究所有的物理现象。相反，科学研究可以预测物理现象。这几乎是一种重复:科学预测可预测的现象。

科学家们描述了他们决定学习的现象的标准：它被称为对称性。对称性是尽管发生了变化的东西，但它的一些部分保持不变。当你说面部有对称时，你的意思是，如果左侧被反射并用右侧交换，它仍然看起来相同。当物理学家使用单词对称时，他们正在讨论物理现象的集合。一组现象具有对称性，如果在某些变化后它是相同的。最明显的例子是位置的对称性。这意味着如果在两个不同的地方执行相同的实验，则结果应该是相同的。时间对称意味着实验结果不应依赖于实验何时发生。并且，有许多其他类型的对称性。

科学家挑选出来进行研究的现象必须有许多不同类型的对称。当物理学家看到许多现象时，她必须首先确定这些现象是否具有对称性。她在不同的时间和地点做实验。如果她得到了同样的结果，她就会研究它们，找出潜在的原因。相反，如果她的实验不是对称的，她就会忽略它们。

当像伽利略和牛顿这样的科学家认识到物理现象中的对称性时，对称的力量第一次被阿尔伯特·爱因斯坦真正利用了。他假设，即使实验者以接近光速的速度移动，物理定律也应该是相同的。有了这种对称性，他才得以构建狭义相对论定律。爱因斯坦是第一个明白对称性是物理学的决定性特征的人。任何有对称性的东西都有自然法则。其余的都不是科学的一部分。

在爱因斯坦证明了对称性对科学研究的重要性后不久，艾美·诺瑟证明了一个强有力的定理，该定理建立了对称性和守恒定律之间的联系。这与自然常数有关，自然常数是现代物理学的核心。同样，如果有对称性，那么就会有守恒定律和常数。物理学家必须是一个筛子，研究那些具有对称性的现象，并允许那些不具有对称性的现象从她的手指中溜走。

我们挑选出那些满足对称性和可预测性要求的现象。

这种对宇宙结构的解释存在一些问题。首先，似乎我们选择的具有自然规律的现象正是产生这些现象的原因全部的的现象。粒子物理定律、万有引力定律和量子理论都具有对称性，并由物理学家进行研究。所有的现象似乎都来自于这些理论，甚至那些似乎不对称的现象也是如此。所以，虽然决定谁将成为下一任总统超出了科学范畴，但这种现象将由社会学决定，社会学决定心理学，神经生物学决定，神经生物学依赖于化学，而化学依赖于粒子物理和量子力学。对于科学家来说，确定选举的获胜者是一件复杂的事情，但选举结果是由物理学定律产生的，物理学是科学的一部分。

尽管我们对自然法则结构的解释是错误的，但我们相信它是存在的最佳候选者的解决方案。它是唯一一个不援引任何形而上学原则的解决方案之一，或者存在众多看不见的宇宙。我们不必在宇宙之外看看我们在宇宙中找到的结构的原因。相反，我们看看我们如何看待现象。

在我们继续之前，我们应该指出我们的解与多元宇宙解有一个共同的性质。我们假设，在大多数情况下，宇宙是混乱的，没有那么多的结构。然而，我们只关注少量的结构。同样，一个相信多元宇宙的人认为，多元宇宙的大部分都缺乏形成智慧生命的结构。只有在少数几个宇宙中，我们才能发现复杂的结构。而我们生活在这个复杂宇宙中的居民则专注于这个罕见的结构。这两种解决方案都专注于一个混乱的整体中的少量结构。

数字系统的层次结构

我们之所以能看到结构，是因为我们选择了现象的一个子集，这种想法很新颖，很难让人理解。在数学中也有类似的情况，但要容易理解得多。我们将集中在一个重要的例子，人们可以非常清楚地看到这个选择过程。首先，我们需要了解一些数字系统和它们的性质。

考虑实数。在高中的开始时，老师在董事会上绘制实际数字线，并表示这些是所有人都需要的数字。给定两个实数，我们知道如何添加，减去，乘以和划分它们。它们包括一个在科学各方面使用的数字系统。实数也有一个重要的财产：它们是完全订购的。这意味着给出任何两个不同的实数，一个人小于另一个。想想真正的数字线：给出了线上的任何两个不同的点，一个将在另一个方面。这个属性很明显，它几乎没有提到。

虽然实数似乎是一张完整的图片，但故事不会结束那里。已经在16世纪，数学家开始看更复杂的数字系统。他们开始使用“虚构”的数字我它的平方是-1。这与任何平方不为负的实数形成了鲜明的对比。他们把虚数定义为实数和的乘积我．数学家们继续定义了一个复数，它是实数和虚数的和。如果r₁和R.₂是实数，那么r₁+r₂我是复数。由于复数是由两个实数构成的，我们通常在一个二维平面上画出它们。实数轴在复平面上。这个对应于这样一个事实，每个实数r₁，可以看成是复数r₁+0我(也就是说，它本身的复分量为零)。

我们知道复数的加、减、乘、除。然而，复数有一个特性是不同的。与实数相比，复数不是完全有序的。给定两个复数，比如3 + 7.2我6 - 4我，我们能分辨出哪个多，哪个少吗?没有明显的答案。(事实上，可以对复数进行完全排序，但排序时不考虑复数的乘法。)复数不是完全有序的这一事实意味着，当我们从实数到复数时，我们失去了结构。

复杂的数字还没有结束。正如我们可以从实数对中构造复数一样，我们也可以从复数对中构造四元数。让c₁=r₁+ R.₂我和c₂=r_3.+ R.₄我是复数;然后我们可以构造一个四元数q = c₁+c₂j在哪里j是一个特殊的数字。每个四元数都可以写成

r₁+ R.₂我+ R._3.j+ R.₄k，

在哪里我，j，及k是否所有的特殊数都类似于复数(它们的定义是ijk= 1 =我²＝j²＝k²)因此，当复数由两个实数组成时，四元数由四个实数组成。每复数r₁+ R.₂我可以看作是一种特殊类型的四元数:r₁+ R.₂我+ 0j+ 0k．我们可以把四元数看成一个四维空间，复数是它的二维子集。我们人类很难想象如此高维的空间。

四元数是一个完整的数字系统。它们可以添加，减去，乘以和拆分。像复杂数字一样，他们没有完全下令。但它们的结构甚至比复杂数字更少。虽然复数的乘法是换向的，即所有复数C₁和c₂我们有那个c₁c₂=c₂c₁，这并不适用于所有四元数。这意味着有四元数q₁问：₂这样问₁问₂和q不一样₂问₁．

不要把实数看成中心数，把八元数看成奇怪的更大的数字系统，而把八元数看成基本数，把其他所有的数字系统看成八元数的特殊子集。

这种用一个新的特殊数字使一个数字系统加倍的过程被称为“凯莱-迪克森结构”，以数学家亚瑟·凯莱和伦纳德·尤金·迪克森的名字命名。给定某种类型的数字系统，人们得到的另一个数字系统的维数是原系统的两倍。一个人开发的新系统的结构(即公理)比开始的系统少。

如果我们将Cayley-Dickson建筑应用于四元数，我们将获得称为Octonions的数字系统。这是八维数字系统。这意味着每个octonions都可以用八个实数写作

r₁+ R.₂我+ R._3.j+ R.₄k+r₅l+ R.₆米+ R.₇n+ R.₈p．

虽然它有点复杂，但我们知道如何加、减、乘、除八元数。每个四元数都可以写成一种特殊类型的八元数，其中后四个系数为零。

和四元数一样，八元数既不是完全有序的，也不是可交换的。然而，八元数也不能结合。详细地说，到目前为止我们讨论过的所有数系都具有结合律。这意味着对于任意三个元素，a, b, c，它们的两种乘法，a(bc)和(ab)c，是相等的。然而，八元数不能结合。即存在八元数o₁，o₂和o._3.这样阿₁（o）₂o_3.)≠(o₁o₂)o_3.．

我们可以继续翻倍得到一个更大的16维数字系统，叫做sedenions。为了描述一个sedonion，我们必须给出16个实数。八元数是一种特殊类型的sedonion:它们的最后八个系数都是零。但研究人员避开了sedenion，因为它们失去了一个重要的特性。虽然我们可以对一个数进行加、减和乘，但却没有办法很好地进行除法。大多数物理学家认为这超出了数学范畴。即使数学家也发现sedenion很难处理。我们可以继续写出32维的数字系统和64维的数字系统，等等。但它们通常不会被讨论，因为到目前为止，它们还没有很多应用。我们将集中讨论八元数。 A summary of all the number systems can be seen in this Venn diagram:

让我们讨论一下这些数系的适用性。实数应用于物理学的各个方面。物理物体或过程的所有量、测量值和长度都以实数表示。虽然复数是由数学家用来帮助解方程的(我方程x的解是多少²= -1），物理学家开始使用复杂数字来讨论19世纪中叶的波浪。在20世纪，复杂的数字成为对量子力学研究的基础。到目前为止，复杂数字的作用在许多不同的物理分支中非常重要。四季度出现在物理学中，但不是主要的球员。在物理文献中，呼吸值，诱饵和较大的数字系统很少出现。

我们发现的数学定律

通常对这些数字系统的看法是，实数是基本的，而复数、四元数和八元数是奇怪的更大的集合，让数学家和一些物理学家忙个不停。较大的数字系统似乎不重要，也不那么有趣。

让我们换个角度来看。不要把实数看成中心数，把八元数看成奇怪的更大的数字系统，而把八元数看成基本数，把其他所有的数字系统看成八元数的特殊子集。真正存在的数字系统只有八元数。套用利奥波德·克罗内克的话:“上帝创造了八元数，其他一切都是人类的工作。”八元数包含了我们所需要的每一个数字。(而且，正如我们之前说过的，我们可以用同样的方法来处理sedenions，甚至是64维的数字系统。我们将用八元数来确定我们的想法。

让我们探索一下如何推导出我们熟悉的数字系统的所有性质。虽然八元数中的乘法不是结合乘法，但如果想要结合乘法，可以查看八元数的一个特殊子集。(我们使用的是“子集”这个词，但我们需要一个特殊类型的子集，它遵循数字系统的操作。这样的子集被称为“子群”、“子域”或“子范数-除法-代数”)因此，如果一个人选择了这种形式的所有八元的子集

r₁+ R.₂我+ R._3.j+ R.₄k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，

然后乘法将是结合的(像四元数)。如果我们进一步观察这个形式的所有八元数

r₁+ R.₂我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，

然后乘法是可交换的(就像复数一样)。如果进一步选择表单的所有八元数

r₁+ 0我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，

然后他们就会有一个完全有序的数字系统。人们想要满足的所有公理都“存在于”八元数中。

这并不奇怪。当我们有一个结构时，我们可以关注满足某些性质的特殊元素的子集。以任何团体为例。我们可以通过组里的元素找出它们X这样，对于所有的元素Y我们有XY＝YX. 这个子集是交换（交换）群。也就是说，在任何群中都有一个子集是交换群，这是一个事实。我们只需选择那些符合公理的部分，而忽略那些不符合公理的部分。我们要强调的是，如果一个系统具有某种结构，那么该系统的特殊子集将比起始系统满足更多的公理。

这与我们在物理学中所做的相似。我们并不关注所有的现象。相反，我们选择那些满足对称性和可预测性要求的现象。在数学中，我们用描述子集的公理来描述子集。在物理学中，我们用自然法则描述现象的选定子集。

我们可以用下图来描述我们所做的类比：

请注意，选择满足公理的子集的数学比整个集合的数学更容易。这是因为数学家使用公理。他们用公理证明定理并建立模型。当这些公理缺失时，数学就会变得更加复杂或不可能。

根据我们的类比，现象的一个子集更容易用数学中陈述的自然法则来描述。相比之下，当我们观察更大范围的现象时，就很难发现自然规律和数学会更加复杂或不可能。

协力工作，向前看

物理学和数学之间有一个重要的相似之处。在这两个领域中，如果我们不关注系统的整体，而是关注系统的特殊子集，我们会看到更多的结构。在物理学中，我们选择某些现象(具有某种对称性的现象)，而忽略其他现象。在数学中，我们只关注结构的某些子集，而忽略其余的。这两项行动是携手合作的。

物理学的工作是从观察到的物理现象收集到数学结构的功能：

观察到的物理现象→数学结构。

也就是说，我们必须向我们观察到的世界提供数学结构。随着物理学的进步，我们试图了解越来越多的物理现象，我们需要更大和更大的数学。就此功能而言，如果我们要扩大函数的输入，我们需要放大函数的输出。

物理学和数学领域的这种拓展有很多例子。

当物理学家开始研究量子力学时，他们意识到完全有序实数对他们的需求来说太有限制了。他们需要一个公理更少的数字系统。他们找到了复数。

当阿尔伯特·爱因斯坦想要描述广义相对论时，他意识到欧几里得空间的数学结构及其平坦公理(欧几里得第五公理)的局限性太大。他需要弯曲的非欧几里得空间来描述广义相对论的时空。

在量子力学中我们知道，对于某些系统，如果我们先测量X然后测量Y，我们会得到不同的结果，而不是先测量Y再测量X。为了从数学上描述这种情况，我们需要离开交换性这个美好的世界。他们需要更大类别的结构，其中没有假设交换性。

当玻尔兹曼和吉布斯开始讨论统计力学时，他们意识到他们提出的定律不再是确定性的。实验结果不再发生(p(X) = 1)或不发生(p(X) = 0)。实验某一结果的概率为(p(X))是无限集[0,1]中的一个元素，而不是限制性有限子集{0,1}中的一个元素)。

当科学家开始谈论量子事件的逻辑时，他们意识到通常的逻辑，即分配，过于严格。它们需要制定大类逻辑，其中分配公理不一定保持真实。这现在称为量子逻辑。

保罗上午迪拉克在85年前写下了这一点，当他写下以下内容时：

物理学的稳步发展要求它的理论公式必须有一个不断进步的数学。这是很自然的，也是可以预料的。然而，上个世纪的科学工作者所没有预料到的是，数学发展的路线将采取的特殊形式，也就是说，人们预计数学将变得越来越复杂，但它将建立在公理和定义的永久基础上，而实际上，现代物理的发展要求数学不断地改变其基础，变得更加抽象。非欧几里得几何和非交换代数，一度被认为是纯粹的思维虚构和逻辑思考者的消遣，现在被发现对描述物理世界的一般事实是非常必要的。似乎越来越抽象的过程将继续在未来,物理学的进步与不断修改和概括数学公理的基础,而不是任何一个数学的逻辑发展计划在一个固定的基础上。¹

随着物理学的进步，我们意识到越来越多的物理现象，需要越来越多种类的数学结构，我们通过越来越少的公理来获得它们。狄拉克将这些公理较少的数学结构称为“渐增抽象”和“公理的一般化”。毫无疑问，如果狄拉克活在现在，他会谈论八元数的兴起，甚至在所需的数字系统内的sedenion。

为了描述更多现象，我们将需要更大且较大的数学结构，因此减少和更少的公理结构。这一趋势的逻辑结论是什么？这可以走多远？物理想要在宇宙中描述越来越多的现象。让我们说我们有兴趣描述全部的我们宇宙中的现象。我们需要什么类型的数学?数学结构需要多少公理才能描述所有的现象?当然，这很难预测，但不去推测就更难了。一个可能的结论是，如果我们从整体上看整个宇宙，而不考虑任何现象的子集，那么我们所需要的数学根本就没有公理。也就是说，整个宇宙是没有结构的，也不需要公理来描述它。总无法无天!数学只是没有结构的普通集合。这将最终消除所有形而上学时，处理自然规律和数学结构。只有我们看待宇宙的方式给了我们结构的错觉。

有了这个物理观点，我们甚至更加深刻的问题。这些是未来的科学项目。如果我们看到的结构是虚幻的，从我们看一下某些现象的方式，我们为什么看到这种幻觉？除了看科学家制定的自然定律，我们必须看看科学家和他们挑选的方式（现象的亚当派）的方式。关于人类的原因是什么，让我们如此善于筛子？我们应该看看，而不是看宇宙道路我们观察宇宙。

我很感谢Jim Cox，Karen Kletter，Avi Rabinowitz，以及Karl Svozil进行许多有用的对话。

Noson S. Yanofsky拥有纽约城市大学研究生中心的数学博士学位。他是纽约城市大学布鲁克林学院的计算机科学教授。除了撰写研究论文外，他还与人合作撰写过论文计算机科学家的量子计算和撰写《理性的外部界限:科学、数学和逻辑无法告诉我们的东西》(The Outer Limits of Reason: What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us)。诺森与妻子和四个孩子住在布鲁克林。

参考

1.电磁场中的量子化奇点。英国皇家学会学报133, 60-72, (1931).

更多的阅读

德雷&马诺，C.A.八元数的几何世界科学出版公司，新加坡（2015年）。

爱丁顿,响亮的自然科学哲学纽约剑桥大学出版社(1939)。

van Fraassen，B.C.法律和对称纽约牛津大学出版社(1989)。

格林,B。隐藏的现实:平行宇宙和宇宙的深层法则Knopf, New York, NY(2011)。

轮v.j.n可理解的宇宙:物理定律从何而来?普罗米修斯图书公司，阿默斯特，纽约(2006)。

组成,M。我们的数学宇宙：我对现实终极本质的探索Knopf, New York, NY(2014)。

新南威尔士州扬诺夫斯基。理性的外部界限：科学、数学和逻辑不能告诉我们的东西麻省理工学院出版社，剑桥，马萨诸塞州(2013)。

Lead image collates credit: Marina Sun / Shutterstock;Pixabay

这篇文章最初发表在2017年6月的《荒诞》杂志上。