数学是美丽的怪物

M就像它的创造者一样，卡尔·威尔斯特拉斯的怪物从天而至。在大学四年的饮酒和击剑生涯之后，威尔斯特拉斯空手而去。他最终学习了一门教学课程，并在19世纪50年代的大部分时间里在布朗斯伯格担任教师。他讨厌普鲁士小镇的生活，觉得那是一种孤独的生活。他唯一的休息是课间做数学题。但是数学上没有人可以倾诉，也没有技术图书馆可以学习。甚至他的研究结果也未能逃脱布朗斯伯格的限制。维尔斯特拉斯没有像大学研究员那样在学术期刊上发表这些论文，而是把它们添加到学校章程的文章中，用晦涩难懂的方程式让潜在的学生感到困惑。

最终，Weierstrass将他的一篇论文提交给了受人尊敬的克雷尔日记. 虽然他之前的文章几乎没有引起什么反响，但这篇文章引起了人们的极大兴趣。Weierstrass发现了一种新的方法来处理一类被称为阿贝尔函数的方程。这篇论文只概述了他的方法，但足以让数学家们相信，他们所面对的是一位独特的天才。一年之内，K·尼格斯伯格大学授予Weierstrass荣誉博士学位，不久柏林大学就给他颁发了教授职位。尽管经历了一个从白手起家的故事，但他的许多旧习惯依然存在。他很少发表论文，而是更愿意与学生分享他的作品。这不仅仅是他不太关心的出版过程：他也不怕瞄准数学的神圣奶牛。

Weierstrass很快就瞄准了本世纪最杰出的数学家之一Augustin Louis Cauchy的研究。柯西的大部分工作集中在微积分和变化率（或“导数”）上。他创造了一本本质上是微积分字典的东西，详细说明了该学科最重要的概念。但当Weierstrass阅读它的定义时，他发现它们冗长而模糊。挥手太多，细节不够。

如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。

他决定修改柯西的字典，用逻辑条件代替散文。这些早期工作的主要内容是对衍生品的重新定义。为了计算曲线在某一点上的梯度，也就是它的变化率，艾萨克·牛顿最初考虑的是一条通过曲线上兴趣点和附近点的直线。然后他将附近的点移得越来越近，直到直线的斜率等于曲线的斜率。但是很难用数学来定义这个概念。是什么决定了两点是否“接近”彼此?

在Cauchy的详细定义中，梯度将“以固定值无限期地接近，以便通过与一个人的愿望不同。”威尔特斯特拉斯并没有认为这足够清楚。他想要一个更实际的定义，所以决定将概念转换为公式。数学家而不是操纵抽象思想，而是能够重新排列方程。在这样做时，他正在为他的怪物奠定基础。

A.当时，数学家们从大自然中汲取了很多灵感。当牛顿第一次发展微积分时，他受到了物理世界的启发：行星的轨迹，钟摆的摆动，落果的运动。这种思维导致了对数学结构的几何直觉。它们的意义应该与物理对象的意义相同。因此，许多数学家专注于“连续”函数。从概念上讲，这些函数可以在不从纸上取笔的情况下绘制。画出一个苹果随着时间下落的速度，它将是一条实线；不会有间隙或突然跳跃。人们认为，连续函数是自然函数。

传统的智慧认为，对于任何连续曲线，可以在所有的渐变中找到梯度，而是有限的点。这似乎匹配了直觉：一条线可能有几个锯齿状位，但总会有几个部分是“平滑”。法国物理学家和MathematicianAndré-MarieAmpère甚至发表了这项索赔的证据。他的论点建立在“直观明显”的事实上，即连续曲线必须具有增加，减少或保持平整的部分。这意味着必须计算这些区域中的梯度。ampère并没有想到当这些部分变得无限小时发生了什么，但他声称他不需要。他的方法足以避免认为事情是“Infiniment Petits.大多数数学家对他的推理很满意:到19世纪中叶，几乎每一本微积分教科书都引用Ampère的证明。

但是在19世纪60年代，关于一种奇怪生物的谣言开始流传，这是一种与Ampère定理相矛盾的数学函数。在德国，伟大的Bernhard Riemann告诉他的学生，他知道一个连续函数没有光滑的截面，并且不可能在任何点计算函数的导数。黎曼没有公布证据，日内瓦大学的查尔斯细胞也没有发表过，尽管他写道他发现了一些“非常重要的，我认为新的”——把工作塞进了一个只有几十年后才死去的文件夹。然而，如果这些说法可信，那就意味着对微积分基础的威胁正在形成。这种生物威胁要撕碎数学理论和它所基于的物理观察之间的美好关系。微积分一直是行星和恒星的语言，但如果有数学函数与该学科的中心思想相矛盾，大自然又怎能成为可靠的灵感来源呢？

1872年，当卡尔·威尔斯特拉斯(Karl weerstrass)宣布他发现了一个连续但在任何一点上都不光滑的函数时，这个怪物终于诞生了。他通过将无穷长的余弦函数序列加在一起来构建它:

作为一个功能，它是丑陋和尴尬。甚至不清楚它在图表上是什么样子的。但这对威尔斯特拉斯来说并不重要。他的证明是由方程而不是形状组成的，这就是他的声明如此强大的原因。他不仅创造了一个怪物，他还用具体的逻辑创造了它。他给出了新的，严格的导数定义，并证明了这个新函数是不可能计算出导数的。

T他的结果使数学界一片震惊。法国数学家Émile Picard指出，如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。而不是利用关于自然物理的想法，他会被困在试图爬过严格的数学障碍。这个怪物也开始践踏之前的研究。已经被“证实”的结果开始失效。Ampère用柯西偏爱的模糊定义来证明他的平滑定理。现在，他的论点开始站不住脚。过去的模糊观念对怪物是没有希望的。更糟的是，什么是数学证明已经不清楚了。在过去的两个世纪里，直观的、以几何为基础的论点似乎没有什么用处。 If mathematics tried to wave the monster away, it would stand firm. With one bizarre equation, Weierstrass had demonstrated that physical intuition was not a reliable foundation on which to build mathematical theories.

老牌数学家们试图将这个结果置之脑后，认为它既尴尬又不必要。他们担心学究和捣乱分子正在劫持他们所钟爱的主题。在索邦大学，查尔斯·埃尔米特(Charles Hermite)写道:“我对这种无衍生函数的可悲祸害感到恐惧和恐惧。”Henri Poincaré-who是第一个把这种功能称为怪物的人，他谴责weerstrass的工作是“对常识的愤怒”。他声称这些功能是一种傲慢的干扰，对这个主题没有什么用处。他说:“它们被发明出来是为了表明我们祖先的推理是错误的，我们永远不会从它们那里得到更多的东西。”

许多保守分子想把威尔斯特拉斯的怪物留在数学的荒野中。没有人能想象出他们正在处理的动物的形状，这一点也没有帮助——只有电脑的出现才使绘图成为可能。它的隐藏形式使得数学学界很难理解这样一个函数是如何存在的。威尔斯特拉斯的证明方式对许多数学家来说也是陌生的。他的论证包含了几十个逻辑步骤，长达几页。想法的轨迹是微妙的，技术要求很高，没有现实生活中的类似物来指引方向。我的本能是要避开它。

但怪物有一种从寒冷中找到他们的方式。事实上，现在许多概念似乎是明显的，甚至是必要的，曾经是怪物。几个世纪以来，数学家避开了负数。古希腊人主要用几何处理，看到了他们。中世纪的学术界也没有采用希腊想法。这个怪物的阴影偶尔会出现今天，例如当孩子询问为什么将两个负数一起乘以一个正的一个。但整体野兽被驯服了;没有人会梦想再次进入它。

同样地，威尔斯特拉斯的怪物也开始得到认可。1904年，阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)向物理学家们介绍了“布朗运动”的概念:他说，液体中的粒子沿着随机路径运动，因为流体分子不断地撞击它们。碰撞是如此频繁(超过10次)²¹（每秒）无论显微镜有多好，或者观察有多详细，轨迹永远不会平滑。在实际层面上，不可能找到导数。如果研究人员想解决这些问题，他们需要面对魏尔斯特拉斯的怪物，而爱因斯坦正是这么做的。他的布朗运动理论使用了无限交错的函数。它开创了一个长期的先例：从那以后，物理学家们一直使用非光滑函数作为布朗运动的代理。

一旦人们清楚地认识到所谓的“Weierstrass函数”实际上非常有用，研究人员就开始研究如何优雅地处理非光滑函数。他们不会试图分析单个粒子在液体中的路径，而是研究许多粒子的平均行为。他们可能走多远？他们什么时候能到达一个给定的点？除了布朗运动，数学家们也开始重新思考微积分的基本工具。变化率总是根据距离和几何测量曲线下的面积来定义的。但当功能不顺畅时，这些想法就没有意义了。

在Kiyoshi东京大学，它通过思考概率的方法找到了解决问题的方法。这是一种非正统的策略，更不用说有风险的策略：在20世纪40年代，几乎没有人将概率论视为一门严谨的学科。但它坚持了下来。他将函数视为随机过程，并将Weierstrass的定义翻译成一种新的基于概率的语言。他说，如果预期结果相同，两个随机过程是“紧密”在一起的。他介绍了一种处理数学函数的方法，该函数依赖于布朗运动等非光滑量，而不是距离等更传统的变量。使用他的新方法，他导出了“Itō’s引理”来计算这样一个函数是如何随时间变化的。

到了20世纪70年代，Itō的工作已经发展到一个全新的数学领域，称为随机微积分（数学家喜欢将随机的事物称为“随机”）。它带来了一整套全新的工具和定理，就像微积分一样。今天，随机微积分被用来研究各种现象，从大脑中的神经元放电到在人群中传播的疾病。它也是金融数学的核心，帮助银行估算期权价格。它可以解释股票价格的波动行为，从而揭示期权的价值是如何随时间变化的。由此产生的方程式，即众所周知的布莱克-斯科尔斯公式，现在在世界各地的交易场所使用。然而，当他赢得银行家的喝彩时，人们总是感到困惑。作为一名纯粹的数学家，他没想到他的工作会因其应用而出名。

100万美元的奖金至今无人认领。在许多方面，这是一个赎金。

Weierstrass'怪物也在几何中震撼了东西。在19世纪末，瑞典Mathematician Helge von Koch对非平滑功能的想法感兴趣，但他想看到他们的形状。他开始建立一个完全光滑的形状（而不是一个函数），因此表明，同样的怪物在代数和几何中都潜伏在一起。他可能无法绘制Weierstrass函数，但他将能够以堂兄想象。致力于在跳跃到另一个临时工作的问题，作为初级教授，Von Koch于1904年发现了他的生物。通过拍摄等边三角形建造，然后在每一边添加三个较小的三角形，并继续这样做，它是不可思议的几何形状是连续但没有衍生物。形状的独特外观意味着它很快就被称为“koch雪花”。

科赫成功地将威尔斯特拉斯的怪物扩展到方程式和函数之外。但他的研究结果还有其他值得注意的地方。仔细观察后发现，他的雪花有一种奇怪的自相似性:放大雪花的某一部分，它看起来会与缩小后的形状相似。多年以后，威尔斯特拉斯函数显然也具有同样的性质。

随着时间的推移，这种自相似性开始在各种地方出现。直到上世纪80年代Benoît Mandelbrot的开创性工作普及了“分形”物体的概念，这种物体的形状在越来越小的长度尺度上重复。从海岸线、云层到植物和血管，数学家们发现分形在自然界中无处不在。就像科赫的雪花一样，没有一片是光滑的。怎么可能呢?如果形状有平滑的截面，图案会在充分放大后消失。正如科赫所发现的，获得非光滑形状的最简单方法是构造分形物体。也许魏斯特拉斯的工作将不可避免地引导数学家走向自相似的模式，将研究人员引入一个错综复杂、美丽结构的世界。

WEierstrass的怪物至今仍在继续工作。纳维-斯托克斯方程描述了流体的运动，是现代流体动力学和空气动力学的基础，从飞机设计到天气预报，都是由它驱动的。然而，尽管它们在19世纪40年代首次出现，数学家们仍然不知道它们是否总能被解出来。2000年，克莱数学研究所提供了100万美元的奖金给任何能够证明方程总是有平滑解的人，或者找到一个相反的例子的人。这个问题被认为是数学中六个最重要的突出问题之一，因为尽管Navier-Stokes方程被广泛使用，但数学家们并不知道这些方程是否总能产生物理上合理的结果。100万美元的奖金至今无人认领。在很多方面，它是一种赎金，鼓励数学家去寻找麻烦的怪物。

从流体力学到金融学，像Weierstrass函数这样的生物挑战了我们关于数学和自然世界之间关系的观点。Weierstrass时代的数学家们过去认为最有用的数学是受自然启发的，Weierstrass的工作不符合这个定义。但随机微积分和曼德布罗特分形已经证明它们是错误的。事实证明，在现实世界中，混乱、复杂的现实世界怪物无处不在。正如曼德布罗特所说，“大自然开了数学家的玩笑。”。就连魏尔斯特拉斯本人也成了这一骗局的牺牲品。他创建了自己的函数来论证数学不应该仅仅基于物理观察。他的追随者相信牛顿受到了现实生活直觉的约束，一旦摆脱了这些限制，就会有大量优雅的新理论被发现。他们认为数学不再需要自然。然而，Weierstrass的怪物揭示了相反的事实。自然和数学之间的关系比任何人想象的都要深刻。

Adam Kucharski是伦敦卫生与热带医学学院数学流行病学研究员。

这篇文章最初发表在2014年4月的《反馈》杂志上。