年代太神所客留在宇宙中，看看令人惊叹的结构。有非常复杂的物体和过程。我们宇宙中的每一个行动都遵循了以数学语言完美表达的精确性质。这些自然定律表现出微调，带来生活，特别是聪明的生活。这些自然法则究竟是什么，我们如何找到它们？
宇宙如此结构化，有序地，我们将其与最复杂和最精确的对比进行比较。在18世纪和19世纪，宇宙与完美的工作时钟或手表进行了比较。哲学家然后讨论了钟表匠。在20世纪和21世纪，最复杂的对象是计算机。宇宙与一个完美的超级计算机进行比较。研究人员询问这台计算机如何进行编程。
如何解释所有这些结构呢?为什么这些法则对于创造生命来说是如此完美?为什么它们要用如此精确的数学语言来表达?宇宙真的像它看起来那样有结构吗?
其中一些问题的一个答案是柏拉米主义（或其堂兄现实主义）。这是对自然定律的信念是客观的，并且一直存在。它们拥有柏拉图领域存在的完全理想形式。这些法律状况良好，他们已经形成了我们周围看到的宇宙。本质上的大自然法律不仅存在，但它们与所有完全形成的数学一起生活。这应该有助于解释为什么法律以数学语言编写。
柏拉力留下了待命的批次。主要问题是柏拉图主义是形而上学，而不是科学。但是，即使我们接受它为真实，仍然存在许多问题。这个柏拉图世界为什么有这些法律，将智能生活带入宇宙，而不是其他法律？这个柏拉图阁楼是如何设置的？为什么我们的物理宇宙遵循这些空灵规则？科学家和数学家如何获得柏拉图的小宝库精确的理想？
多层是最近变得相当时尚的另一个答案。这个理论是试图解释为什么我们的宇宙具有它的生命法律。一个相信多个人的人认为，我们的宇宙只是许多宇宙之一。每个Universe都有自己的一组规则以及与这些规则一起出现的可能结构。推动多层理论的物理学家认为，每个宇宙中的法律都是任意的。我们看到结构适合我们宇宙中的建筑物的原因是我们恰好生活在有很少有此类法律的宇宙中。虽然多个人解释了我们看到的一些结构，但有些问题是左转。而不是询问为什么宇宙具有它的结构，我们可以推回问题并询问为什么多层有它的结构。另一个问题是，虽然多个人会回答我们存在的一些问题，但是如果存在，谁说它实际存在？因为大多数人认为我们没有与其他宇宙的联系，所以存在的问题基本上是形而上学。
这几乎是一系列的：科学预测可预测的现象。
对于自然法则的结构，还有另一种更有趣的解释。不要说宇宙是非常有结构的，而是说宇宙大部分是混乱的，大部分是缺乏结构的。我们之所以能看到这样的结构，是因为科学家们像筛子一样，只关注那些有结构且可预测的现象。他们没有考虑到所有的现象;相反，他们选择那些他们可以处理的现象。
有人说科学研究了所有物理现象。这是不正确的。谁将赢得下一届总统选举，进入白宫是一个难以冒险的科学家们冒险给予绝对预测的身体问题。计算机是否将停止给定的输入可以被视为物理问题，但我们从Alan学习了这个问题无法回答的。科学家们归类了不同类型云的一般纹理和高度，但总的来说，没有对云的确切形状感兴趣。虽然形状是身体现象，但科学家甚至不试图研究它。科学并未研究所有物理现象。相反，科学研究可预测物理现象。这几乎是一系列的：科学预测可预测的现象。
科学家们已经描述了他们决定研究的现象的标准:它被称为对称。对称是一种特性，即尽管某些东西在变化，但它的某些部分仍保持不变。当你说一张脸是对称的时候，你的意思是说如果左脸被反射并与右脸交换，它看起来仍然是一样的。当物理学家使用对称这个词时，他们是在讨论物理现象的集合。如果一组现象经过某种变化后仍然相同，那么它就是对称的。最明显的例子就是位置对称。这意味着如果一个人在两个不同的地方做同样的实验，结果应该是相同的。时间的对称性意味着实验结果不应依赖于实验发生的时间。还有很多其他类型的对称。
科学家学习选择的现象必须具有许多不同类型的对称性。当物理学家看到很多现象时，她必须先确定这些现象是否具有对称性。她在不同的地方和不同时间进行实验。如果她达到相同的结果，那么她就研究他们寻找潜在的原因。相比之下，如果她的实验未能对称，她会忽略它们。
当像伽利略和牛顿这样的科学家认识到物理现象中的对称性时，对称的力量第一次被阿尔伯特·爱因斯坦真正利用了。他假设，即使实验者以接近光速的速度移动，物理定律也应该是相同的。有了这种对称性，他才得以构建狭义相对论定律。爱因斯坦是第一个明白对称性是物理学的决定性特征的人。任何有对称性的东西都有自然法则。其余的都不是科学的一部分。
爱因斯坦在爱因斯坦对对称性对称性至关重要之后，Emmy Noets被证明是一种强大的定理，在对称和保护法之间建立了联系。这与自然常数有关，这是现代物理学的核心。再次，如果有对称性，那么将有保护法律和常数。物理学家必须是筛子，并研究具有对称性的那些现象，并允许那些不具有对称性的人穿过手指。
我们挑选出满足对称性和可预测性要求的那些现象。
这种对宇宙结构的解释存在一些问题。首先，似乎我们选择的具有自然规律的现象正是产生这些现象的原因全部的现象。粒子物理定律、万有引力定律和量子理论都具有对称性，并由物理学家进行研究。所有的现象似乎都来自于这些理论，甚至那些似乎不对称的现象也是如此。所以，虽然决定谁将成为下一任总统超出了科学范畴，但这种现象将由社会学决定，社会学决定心理学，神经生物学决定，神经生物学依赖于化学，而化学依赖于粒子物理和量子力学。对于科学家来说，确定选举的获胜者是一件复杂的事情，但选举结果是由物理学定律产生的，物理学是科学的一部分。
尽管我们对自然法则结构的解释是错误的，但我们相信它是存在的最佳候选者的解决方案。这是唯一的解决方案之一，它不援引任何形而上学的原则或存在的众多看不见的宇宙。我们不需要在宇宙之外寻找我们在宇宙中发现的结构的原因。相反，我们看的是我们如何看待现象。
在我们继续之前，我们应该指出我们的解与多元宇宙解有一个共同的性质。我们假设，在大多数情况下，宇宙是混乱的，没有那么多的结构。然而，我们只关注少量的结构。同样，一个相信多元宇宙的人认为，多元宇宙的大部分都缺乏形成智慧生命的结构。只有在少数几个宇宙中，我们才能发现复杂的结构。而我们生活在这个复杂宇宙中的居民则专注于这个罕见的结构。这两种解决方案都专注于一个混乱的整体中的少量结构。
数字系统的层次结构
这个想法是我们只看到结构，因为我们选择了一个现象的子集是新颖的，难以包裹一个人的头。数学中存在类似的情况，更容易理解。我们将专注于一个重要的例子，其中一个人可以非常清楚地看到这个选择过程。首先，我们需要花一点游览几个数字系统及其属性。
考虑一下真实的数字。在高中开始的时候，老师在黑板上画了一条实数线，并说这些都是1需要的数字。给定两个实数，我们知道如何加、减、乘、除。它们组成了一套用于科学各个方面的数字系统。实数还有一个重要的性质:它们是完全有序的。这意味着给定任意两个不同的实数，其中一个小于另一个。想想实数轴:给定直线上任意两个不同的点，一个在另一个的右边。这个特性是如此的明显以至于很少被提及。
虽然真实的数字似乎是一幅完整的图画，但故事并没有就此结束。早在16世纪，数学家们就开始研究更复杂的数字系统。他们开始研究一个“虚数”我它的平方是-1。这与任何平方不为负的实数形成了鲜明的对比。他们把虚数定义为实数和的乘积我．数学家继续定义一个复杂的数字，这是实数和虚数。如果R.1和r2是实数，那么r1+ R.2我是一个复杂的数字。由于复杂的数字是由两个实数构建的，因此我们通常将所有它们绘制在二维平面中。实数线位于复杂的平面中。这对应于每个实际数字r的事实1，可以被视为复杂的数字r1+0我（即本身具有零复杂组件）。
我们知道复数的加、减、乘、除。然而，复数有一个特性是不同的。与实数相比，复数不是完全有序的。给定两个复数，比如3 + 7.2我6 - 4我，我们能分辨出哪个多，哪个少吗?没有明显的答案。(事实上，可以对复数进行完全排序，但排序时不考虑复数的乘法。)复数不是完全有序的这一事实意味着，当我们从实数到复数时，我们失去了结构。
故事没有复杂的数字。正如一个人可以从成对的实数构造复数，所以也可以从复合数字的成对构造四元数。让C.1= R.1+ r2我和c2= R.3.+ r4我是复数;然后我们可以构造一个四元数q = c1+ C.2j在哪里j是一个特殊的数字。每个四元数都可以写成
r1+ r2我+ r3.j+ r4k，
在哪里我，j， 和k是否所有的特殊数都类似于复数(它们的定义是ijk= 1 =我2＝j2＝k2）。因此，虽然复数由两个实数组成，但四元数由四个实数组成。每个复杂的数字r1+ r2我可以被视为一种特殊类型的四元数：r1+ r2我+ 0j+ 0k．我们可以将四季度视为一个四维空间，该空间具有复杂的数字作为其二维子集。我们的人类很难可视化这种更高尺寸的空间。
四元数是一个成熟的数字系统。它们可以很容易地加、减、乘、除。就像复数一样，它们不能完全有序。但它们的结构甚至比复数还要少。而复数乘法是可交换的，也就是说，对所有复数c1和c2我们有那个c1c2= C.2c1，这对于所有四边形来说都不是正确的。这意味着有四元数q1和问2这样问1问2和q不一样2问1．
而不是以奇怪的较大数字系统为中心和八大数目的真实数字，而是将八大号视为基本的overnions，以及所有其他数字系统，只有octonions的特殊子集。
这种用一个新的特殊数字使一个数字系统加倍的过程被称为“凯莱-迪克森结构”，以数学家亚瑟·凯莱和伦纳德·尤金·迪克森的名字命名。给定某种类型的数字系统，人们得到的另一个数字系统的维数是原系统的两倍。一个人开发的新系统的结构(即公理)比开始的系统少。
如果我们把Cayley-Dickson结构应用到四元数上，我们得到了称为八元数的数字系统。这是一个八维数字系统。这意味着每个八元数都可以写成8个实数
r1+ r2我+ r3.j+ r4k+ R.5l+ r6米+ r7n+ r8p．
虽然它有点复杂，但我们知道如何加、减、乘、除八元数。每个四元数都可以写成一种特殊类型的八元数，其中后四个系数为零。
和四元数一样，八元数既不是完全有序的，也不是可交换的。然而，八元数也不能结合。详细地说，到目前为止我们讨论过的所有数系都具有结合律。这意味着对于任意三个元素，a, b, c，它们的两种乘法，a(bc)和(ab)c，是相等的。然而，八元数不能结合。即存在八元数o1，O.2和o3.这样阿1（o.2o3.)≠(o1o2）O.3.．
我们可以继续翻倍得到一个更大的16维数字系统，叫做sedenions。为了描述一个sedonion，我们必须给出16个实数。八元数是一种特殊类型的sedonion:它们的最后八个系数都是零。但研究人员避开了sedenion，因为它们失去了一个重要的特性。虽然我们可以对一个数进行加、减和乘，但却没有办法很好地进行除法。大多数物理学家认为这超出了数学范畴。即使数学家也发现sedenion很难处理。我们可以继续写出32维的数字系统和64维的数字系统，等等。但它们通常不会被讨论，因为到目前为止，它们还没有很多应用。我们将集中讨论八元数。 A summary of all the number systems can be seen in this Venn diagram:
让我们讨论一下这些数系的适用性。实数应用于物理学的各个方面。物理物体或过程的所有量、测量值和长度都以实数表示。虽然复数是由数学家用来帮助解方程的(我方程x的解是多少2= -1)，物理学家在19世纪中叶开始使用复数来讨论波。在20世纪，复数成为量子力学研究的基础。到目前为止，在物理学的许多不同分支中，复数的作用是非常重要的。四元数出现在物理学中，但不是主要的参与者。八元数、十元数和较大的数系在物理文献中很少出现。
我们发现的数学定律
这些数字系统的通常视图是认为实数是基本的，而复杂的，四元数和octonions是奇怪的较大套装，使数学家和一些物理学家忙碌。较大的数字系统似乎不重要，更少有趣。
让我们换个角度来看。不要把实数看成中心数，把八元数看成奇怪的更大的数字系统，而把八元数看成基本数，把其他所有的数字系统看成八元数的特殊子集。真正存在的数字系统只有八元数。套用利奥波德·克罗内克的话:“上帝创造了八元数，其他一切都是人类的工作。”八元数包含了我们所需要的每一个数字。(而且，正如我们之前说过的，我们可以用同样的方法来处理sedenions，甚至是64维的数字系统。我们将用八元数来确定我们的想法。
让我们探索一下如何推导出我们熟悉的数字系统的所有性质。虽然八元数中的乘法不是结合乘法，但如果想要结合乘法，可以查看八元数的一个特殊子集。(我们使用的是“子集”这个词，但我们需要一个特殊类型的子集，它遵循数字系统的操作。这样的子集被称为“子群”、“子域”或“子范数-除法-代数”)因此，如果一个人选择了这种形式的所有八元的子集
r1+ r2我+ r3.j+ r4k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后乘法将是结合的(像四元数)。如果我们进一步观察这个形式的所有八元数
r1+ r2我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后乘法将被换向（如复数）。如果进一步选择表单的所有octonions
r1+ 0我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后他们就会有一个完全有序的数字系统。人们想要满足的所有公理都“存在于”八元数中。
这并不奇怪。每当我们有一个结构时，我们都可以专注于满足某些属性的特殊元素的子集。例如，任何组。我们可以通过小组的元素并挑选那些X这样，对于所有的元素Y我们有XY＝YX．该子集是一种换向（abelian）组。也就是说，这是一个事实上，在任何组中都有一个是换向组的子集。我们只需选择满足Axiom的那些部件，忽略（“括号”）那些没有的人。我们正在制作的点是，如果系统具有一定的结构，则该系统的特殊子集将满足比起始系统更多的原理。
这类似于我们在物理学中所做的事情。我们不看所有现象。相反，我们挑选了那些满足对称性和可预测性要求的现象。在数学中，我们描述了描述它的公理的子集。在物理学中，我们用自然法律描述所选择的现象子集。
我们可以描述我们用下图所做的类比：
请注意，选择以满足公理的子集的数学比整个集合的数学更容易。这是因为数学家与公理合作。他们证明了定理并使用公理制作模型。当缺少这样的公理时，数学变得更加复杂或不可能。
在我们的类比之后，通过数学中所述的自然法则更容易描述现象的子集。相比之下，当我们看看较大的现象时，难以找到自然法则和数学将更加复杂或不可能。
在串联工作和前进
物理学和数学之间有一个重要的相似之处。在这两个领域中，如果我们不关注系统的整体，而是关注系统的特殊子集，我们会看到更多的结构。在物理学中，我们选择某些现象(具有某种对称性的现象)，而忽略其他现象。在数学中，我们只关注结构的某些子集，而忽略其余的。这两项行动是携手合作的。
物理学的工作是从观察到的物理现象的集合到数学结构的一个函数:
观察到的物理现象→数学结构。
也就是说，我们必须给我们观察的世界以数学结构。随着物理学的进步，我们试图理解越来越多的观察到的物理现象，我们需要越来越多的数学课程。对于这个函数，如果我们要放大函数的输入，我们需要放大函数的输出。
物理学和数学领域的这种拓展有很多例子。
当物理学家开始研究量子力学时，他们意识到完全有序实数对他们的需求来说太有限制了。他们需要一个公理更少的数字系统。他们找到了复数。
当Albert Einstein想要描述一般相对论时，他意识到欧几里德空间的数学结构及其公平度的公理（Euclid的第五公理）过度限制。他需要弯曲的非欧几里德空间来描述一般相对性的时刻。
在量子力学中我们知道，对于某些系统，如果我们先测量X然后测量Y，我们会得到不同的结果，而不是先测量Y再测量X。为了从数学上描述这种情况，我们需要离开交换性这个美好的世界。他们需要更大类别的结构，其中没有假设交换性。
当玻尔兹曼和吉布斯开始讨论统计力学时，他们意识到他们提出的定律不再是确定性的。实验结果不再发生(p(X) = 1)或不发生(p(X) = 0)。实验某一结果的概率为(p(X))是无限集[0,1]中的一个元素，而不是限制性有限子集{0,1}中的一个元素)。
当科学家们开始讨论量子事件的逻辑时，他们意识到通常的逻辑，即分布逻辑，限制性太大了。他们需要建立一个更大的逻辑类别，其中分配公理不一定成立。这现在被称为量子逻辑。
保罗点大约85年前，狄拉克理解了这种公理的松动，他写道:
物理学的稳定进步需要其理论制定，这是一个不断推进的数学。这只是自然的并且可以预期。然而，上个世纪的科学工人预计没有预期的是数学进步的特殊形式，即预计数学会变得越来越复杂，而是将永久的公理和定义，而实际上现代物理发展需要一个不断转移其基础并获得更多抽象的数学。非欧几里德几何和非传染性代数被认为是纯粹的逻辑思想家的思想和逍遥时光的规范，现在已经被发现对物理世界的一般事实描述是非常必要的。似乎，这种增加的抽象过程将继续在未来继续，物理学的进步与数学基础的公理的连续修改和泛化相关联，而不是在固定的任何一个数学方案的逻辑开发基础。1
随着物理学的进步，我们意识到越来越多的物理现象，需要越来越多种类的数学结构，我们通过越来越少的公理来获得它们。狄拉克将这些公理较少的数学结构称为“渐增抽象”和“公理的一般化”。毫无疑问，如果狄拉克活在现在，他会谈论八元数的兴起，甚至在所需的数字系统内的sedenion。
为了描述更多的现象，我们需要越来越多的数学结构，因此公理也越来越少。这种趋势的逻辑结论是什么?这能走多远?物理学想要描述宇宙中越来越多的现象。假设我们对描述感兴趣全部我们宇宙中的现象。我们需要什么类型的数学?数学结构需要多少公理才能描述所有的现象?当然，这很难预测，但不去推测就更难了。一个可能的结论是，如果我们从整体上看整个宇宙，而不考虑任何现象的子集，那么我们所需要的数学根本就没有公理。也就是说，整个宇宙是没有结构的，也不需要公理来描述它。总无法无天!数学只是没有结构的普通集合。这将最终消除所有形而上学时，处理自然规律和数学结构。只有我们看待宇宙的方式给了我们结构的错觉。
有了这种物理学的观点，我们就会遇到更深奥的问题。这些都是未来的科学项目。如果我们所看到的结构是虚幻的，并且来自于我们看待某些现象的方式，那么我们为什么会看到这种幻觉呢?我们不应该关注由科学家制定的自然法则，而应该关注科学家以及他们挑选自然法则(现象的子集及其伴随的)的方式。是什么让人类如此擅长做筛子呢?与其看宇宙，我们应该看道路我们观察宇宙。
我感谢Jim Cox、Karen Kletter、Avi Rabinowitz和Karl Svozil的许多有益对话。
Noson S. Yanofsky拥有纽约城市大学研究生中心的数学博士学位。他是纽约城市大学布鲁克林学院的计算机科学教授。除了撰写研究论文外，他还与人合作撰写过论文计算机科学家的量子计算和撰写原因的外部限制：什么科学，数学和逻辑不能告诉我们。诺森与妻子和四个孩子住在布鲁克林。
参考文献
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更多的阅读
Dray，T.＆Manogue，C.A.octonions的几何形状世界科学出版公司，新加坡（2015年）。
埃丁顿，A。。物理科学哲学纽约剑桥大学出版社(1939)。
van Fraassen公元前法律和对称牛津大学出版社，纽约，NY（1989）。
格林,B。隐藏的现实:平行宇宙和宇宙的深层法则Knopf, New York, NY(2011)。
轮v.j.n可理解的宇宙:物理定律从何而来?Prometheus Books，Amherst，NY（2006）。
Tegmark，M。我们的数学宇宙：我寻求现实的最终性质Knopf, New York, NY(2014)。
Yanofsky，N.S.原因的外部极限：什么科学，数学和逻辑不能告诉我们麻省理工学院出版社，剑桥，马萨诸塞州(2013)。
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