欧几里得为开国元勋

D尽管这个人的手势笨拙，头发蓬乱，衣着不合身，但这是约翰·格列佛牧师所听过的最不寻常的讲话之一。那是1860年3月，地点是康涅狄格州的诺里奇。第二天早上，格列佛在乘火车去布里奇波特的时候，开始和演讲者交谈。演讲者是一位名叫亚伯拉罕·林肯的政治家。

当这对夫妇在马车里坐下时，格列佛问林肯关于他非凡的演讲技巧:“我非常想知道你是如何拥有这种不寻常的‘把东西放在那里’的能力的。’”据格列佛说，林肯说这不是一个正规教育的问题。“我这辈子上学从来没有超过6个月。”但他在别处找到了训练机会。林肯说:“在我研读法律的过程中，我经常遇到‘证明’这个词。”“起初我以为我明白它的意思，但很快我就发现我并不明白。”为了更好地理解它，他去了父亲的家，“一直呆在那里，直到我能对欧几里得的六本书提出任何观点。”¹

元素提出定义是知识的基础，并导致不需要证明的自明公理。从这些定义和公理，欧几里得展示了如何证明几十个数学命题，产生了客观和不可否认的知识。一个理性的人必须接受一个已被证明的事实，不管他们的个人信仰或信念是什么。

元素将成为最畅销的著作，在印刷版中仅次于圣经，直到最近还被用作数学课的标准文本。它深刻地影响了西方的思想，塑造了西方的科学和艺术。人们较少认识到的是它在现代政治创造中的作用:从等边三角形的证据到欧洲和美国民主基础的距离被证明只有2000年左右。

J洛克是欧几里得政治思想的早期先驱。这位出生于1632年的英国人成长于一个动荡的时代，1642年开始了长达9年的内战。洛克的父亲曾在战争中反对保皇党，他对道德的概念产生了极大的兴趣。在形成他的意识形态，洛克从逻辑结构的指导元素．他相信，通过遵循“像数学中那样无可辩驳”的不言而喻的陈述的逻辑结果，就有可能证明什么是对的，什么是错的。

从历史上看，专制君主和教会规定了法律和正义。启蒙思想家如洛克试图挑战这一传统。他没有从上面定义平等，而是想把它植根于自然的、客观的规律中。洛克认为，一个社会的“自然权利”可以以类似于几何定理的方式建立起来，因此“就像欧几里得的任何论证一样确定”。

像欧几里得一样，洛克定义了一些术语，然后用这些定义来证明道德主张。例如，洛克将财产定义为“对任何事物的权利”，而不公正则定义为“对该权利的侵犯或侵犯”。“没有财产就没有不公正”这句话自然地从这些定义中得出。在他的《政府论》在1689年出版的《自然》一书中，洛克指出:“相同物种和等级的生物，不分贵贱地生来就具有同样的自然优势，并利用同样的能力，彼此之间也应该是平等的。”因此，在没有规则或法律的情况下，人类的自然状态是“自由、平等和独立的”，这是不言而喻的。他总结说，政府的目标应该是维护生命、自由和财产等自然权利。

洛克的思想会跨越大西洋，进入美国开国元勋们的笔下。1776年，由托马斯·杰斐逊起草的《美国独立宣言》终稿开篇写道:“我们认为下述真理不言而喻:人人生而平等。”杰斐逊本人酷爱数学，从真理的“不证自明”本质到后来的“生命、自由和追求幸福”的权利，他采用了欧里得和洛克的逻辑风格。

近一个世纪后，林肯找到了自己找到欧几里得的方法。19世纪50年代初，他在伊利诺斯州巡回法院当律师时，把欧几里得的著作装在他的马鞍袋里。有一次，他的同事威廉·赫恩登走进他们在斯普林菲尔德共用的办公室，发现林肯正在查看一张巨大的图表。林肯被厚厚的纸上的形状迷住了，当他走进来时，他几乎认不出赫恩登。桌子上散乱地放着几瓶墨水，旁边还有铅笔、指南针、直尺和一大堆新纸——这是徒劳的结果。这是一道经典的欧几里得难题，需要画出面积相等的正方形和圆形。

虽然林肯在三天的绘画和测量后不得不承认失败，但欧几里得的数学原理和逻辑体系将继续成为他整个政治生涯中的关键工具。欧几里德逻辑将塑造他反对奴隶制的论点，以及他反对奴隶制支持者的辩论。这将使他相信什么是公正的，什么是不可接受的。当他升上总统宝座，当国家陷入内战时，欧几里德将在那里指导他。

一个理性的人必须接受一个已被证明的事实，不管他们的个人信仰或信念是什么。

林肯在1854年的一篇私人文章中推测道:“如果A能够证明，无论多么结论性，他确实可以奴役B，为什么B不能抓住同样的论点，同样地证明他可以奴役A呢?”这个论点是明确而无可辩驳的:无论拥有奴隶的权利是以肤色、智力或金钱来定义的，奴隶主总是可以用同样的理由来奴役他们所谓的上级。

这是数学中经常使用的一种证明的教科书例子，这种证明被称为矛盾证明。在元素在美国，欧几里得用这个证明方法来证明，如果三角形的两个角相等，那么它们的对边也会相等。首先，他假设一边比另一边长。如果他把多余的部分切掉，那么两边的长度相等，小三角形就会和原来的三角形完全一样。这与他的“整体大于部分”的公理相矛盾。因此，双方必须始终平等。林肯的证明也遵循了同样的结构。

林肯在伊利诺伊州政治巡回赛上的主要对手是民主党法官斯蒂芬·道格拉斯，他与林肯一样反对奴隶制。1857年，道格拉斯声称，当开国元勋们谈论平等时，他们并不是指所有的人，“他们说的是在这个大陆上的英国臣民与在英国出生和居住的英国臣民是平等的。”林肯反驳道，他再次遵循逻辑得出了荒谬的结论。林肯认为，如果该声明只涉及英国臣民，“法国人、德国人和世界上其他白人都与法官的劣等种族一起陷入困境。”

1858年，竞选参议员的林肯和道格拉斯进行了一系列的辩论。林肯再一次求助于欧几里得。当道格拉斯批评参议员Lyman Trumbull的一个法律观点，称他不诚实时，林肯告诉道格拉斯，逻辑上的论点不能用人身攻击来击败。“如果你学过几何，你就会记得，通过推理过程，欧几里得证明了一个三角形中的所有角都等于两个直角，”林肯说。"欧几里得已经告诉你怎么算了。现在，如果你要反驳这个命题，证明它是错误的，你会说欧几里得是个骗子来证明它是错误的吗?”

道格拉斯认为奴隶制是一项主权权利，由各州人民决定。林肯不同意:人民主权的概念不应该包括奴隶制。第二年，林肯向道格拉斯提出挑战，要求他建立一个逻辑上合理的论点来支持他的论点。“如果道格拉斯法官以某种方式证明这是人民的主权——一个人有权成为另一个人的奴隶，而另一个人没有任何权利，或者任何人反对——证明它就像欧几里得证明命题一样，没有人反对。”

欧几里得会感到骄傲的。

一个尽管欧几里得定理很强大，但用它来讨论当时的问题还是有限度的。欧几里得逻辑依赖于所有人都认同的共同公理概念。但如果在这些公理上没有普遍的共识呢?取得进展可能很难。1854年10月，林肯在伊利诺斯州的皮奥里亚市发表演讲，道格拉斯认为伊利诺斯州不是一个自由州的观点让林肯感到沮丧。“否认这些事情就是否认我们国家的公理，”林肯说。在他看来，这使得争论毫无希望。“如果一个人站起来坚持说，重复说，再坚持说，二加二不等于四，我就不知道有什么论据能阻止他了。”到1850年代末,当奴隶制已经画了一个通过美国分界线,林肯会写“人会开始以极大的信心,他可以让任何理智的孩子,欧几里得的简单命题是真的,但是,尽管如此,他会失败,彻底,人应该否定的定义和公理。杰弗逊的原则是自由社会的定义和公理。 And yet they are denied and evaded, with no small show of success.”

林肯不仅开始达到公理说服的极限，一套固定的欧几里得公理的想法在这一时期开始瓦解，甚至在它的固有的数学领域。在19世纪，数学家们重新审视了欧几里得几何学中的经典问题，比如是否有可能像林肯所尝试的那样将圆变为方(事实并非如此)。还有人质疑几何本身的性质。卡尔·高斯(Carl Gauss)等研究人员探索了非欧几里得领域，在那里欧几里得定理不再成立:在球面上画一个三角形，它的三个角加起来就不再是两个直角。

“你会称欧几里得为骗子来证明它是假的吗?”

到本世纪末，像康托尔(Georg Cantor)这样的数学家走得更远，在纯数学的核心中发现了悖论和矛盾。他们的前辈发展了基于自然“直观可见”定律的定理，比如欧几里得的“整体大于部分”公理。现实生活的直觉告诉我们，这种说法总是正确的，但康托尔发现，当应用到无限的数字集合时，它就失败了。例如，康托证明了正整数集(1,2,3…)与平方数集(1,4,9…)的“大小”相等。换句话说，整体并不总是比部分大。

在20世纪早期，研究人员试图通过建立一套完整、一致的公理来解决日益增多的悖论，所有的数学理论都可以从这些公理中推导出来。不幸的是，库尔特Gödel 1931年的不完全性定理表明，这个目标是不可能实现的。他证明，无论公理多么详细，总有一些情况是它们不能涵盖的。Gödel的工作证明了公理系统的局限性:数学不可能既完整又一致。仅仅有公理是不够的。

那么他们怎么可能是为了政治呢?废除奴隶制最终需要一个新的规则——第十三修正案——含蓄地暗示奴隶制并没有像现在这样被宪法明目张张地禁止。对美国国家原则的其他新诠释也引起了人们的关注。1896年，美国最高法院裁定，针对不同种族的“隔离但平等”设施并不违反宪法。但人们的态度逐渐改变了，1954年他们推翻了这一决定，指出“隔离教育设施从本质上来说是不平等的”。20世纪初剥夺妇女选举权以及二战期间日裔美国人被拘留——这两件事在当时被认为符合宪法，但随后遭到谴责——进一步说明了平等观念的转变。

所有这些修正和重新评估反映了林肯的认识我们不能依赖于不可触摸和不言自明的真理。在他1863年的葛底斯堡演说中，他将美国描述为一个“致力于人人生而平等的主张”的国家。公理理论不得不让位给一种更现代的理论，即对命题的不断解释，无论是在数学上还是在政治上。在美国最高法院裁定同性婚姻是一项宪法权利之后，巴拉克·奥巴马在去年的一次演讲中这样说。“我们的国家是建立在一个基本原则之上的，那就是人人生而平等。每一代人的工作都是将这些创始词的意义与不断变化的时代的现实联系起来。”随着时间的推移，平等已经从一个不言自明的结论变成了一个命题。林肯希望，证明这一主张的将是美国本身。

亚当·库恰尔斯基是伦敦卫生与热带医学学院的助理教授，著有《完美的赌注:科学和数学是如何让运气从赌博中消失的。

工具书类

1.木匠,运货单亚伯拉罕·林肯的内心生活:在白宫的六个月纽约的Hurd & Houghton(1874)。