我是如何重新连接我的大脑，使数学变得流利的

我是一个任性的孩子，在生活的文学方面长大，对待数学和科学就像他们是瘟疫的脓疱。所以我现在的结局有点奇怪——一个每天都在和三重积分，傅里叶变换，还有数学的皇冠上的宝石，欧拉方程跳舞的人。很难相信我已经从一个天生的数学恐惧症转变成了一个工程学教授。

有一天，我的一个学生问我是怎么做到的——我是怎么改变我的大脑的。我想回答他妈的有很多困难！毕竟，我在小学、初中和高中的数学和科学上都不及格。事实上，直到我26岁离开军队，我才开始学习数学补习。如果有一个关于成人神经可塑性潜力的教科书例子，我会是证据a。

成年后学习数学和科学让我进入了工程领域。但我大脑中这些来之不易的成年年龄变化也让我对成人学习背后的神经可塑性有了一个内部人的看法。幸运的是，我在系统工程方面的博士培训将不同STEM（科学、技术、工程、数学）学科的大局联系在一起，然后我后来的研究和写作侧重于人类如何思考，这帮助我理解了与学习相关的神经科学和认知心理学的最新进展。

在我获得博士学位后的几年里，成千上万的学生在我的教室里穿梭，他们在小学和高中长大，相信通过积极的讨论理解数学是学习的法宝。如果你能向别人解释你所学到的东西，也许可以给他们画一幅画，那么你必须
理解它。

在这些积极的、“以理解为中心”的教学方法方面，日本已被视为一个备受推崇和效仿的典范。但讨论中经常遗漏的是故事的其余部分:日本也是Kumon数学教学方法的发育地，这种方法强调死记硬背、重复和死记硬背，同时发展孩子对材料的掌握。这种密集的课外项目，以及其他类似的项目，受到日本和世界各地数百万家长的欢迎，他们通过大量的练习、重复，当然还有精心设计的死记硬背，来补充孩子的参与式教育，让他们能够对材料有来之不易的熟练掌握。

教师可能会在不经意间将学生的失败设定为学生的失败，因为学生在能力的错觉中犯错。

在美国，对理解的强调有时似乎取代了，而不是补充了科学家们一直在告诉我们的老式教学方法，即利用大脑的自然过程来学习数学和科学等复杂学科。

数学教育改革的最新浪潮涉及“共同核心”(Common core)计划，该计划旨在在全美范围内建立强有力、统一的标准，不过批评人士称，与成绩优异的国家相比，这些标准算不上标准。至少从表面上看，这些标准似乎表明了一个明智的观点。他们建议，在数学方面，学生应该在概念理解、程序技巧和流畅性以及应用方面获得同等的能力。

当然，问题在于实施的细节。在当前的教育环境下，在STEM学科中(与语言或音乐学习相反)的记忆和重复经常被认为是有损尊严的，而且对学生和老师来说都是浪费时间。许多教师长期以来被灌输的观念是，对STEM的概念性理解胜过一切。事实上，对老师来说，引导学生讨论数学问题(如果做得好，对促进理解有很大帮助)比乏味地批改数学作业要容易得多。这一切都意味着，尽管程序技能和流畅性以及应用应该与概念理解同等重要，但通常情况下，这并没有发生。传授概念上的理解是最重要的——尤其是在宝贵的课堂时间里。

一味地专注于理解的问题是，数学和科学学生通常可以掌握一个重要思想的要点，但这种理解可能很快就会溜走，而不需要通过练习和重复来巩固。更糟糕的是，学生们常常认为他们理解了一些东西，而实际上他们并不理解。通过倡导理解的重要性，教师可能会在不经意间让学生陷入失败的境地，因为这些学生错误地认为自己有能力。正如一位(即将失败的)工程学学生最近告诉我的那样:“我就是不明白我怎么会考得这么差。”你在课堂上讲的时候我就明白了。”我的学生可能认为他当时已经理解了，也许他确实理解了，但他从来没有实践过使用这个概念来真正内化它。他还没有形成任何程序上的流畅性，也没有能力应用他认为自己理解的东西。

在学习数学和科学以及学习一项运动之间有一个有趣的联系。当你学习如何挥动高尔夫球杆时，你需要通过多年的反复练习来完善它。你的身体从一个单一的思想块就知道该做什么，而不是回忆击球时涉及的所有复杂步骤。

同样地，一旦你明白了为什么要在数学和科学上做某件事，你就不需要每次都向自己重新解释怎么做了。不需要口袋里有25颗弹珠一次又一次地排列5行5颗弹珠就得到5 x 5 = 25。有时候，你只能凭记忆流利地记住它。记住，当基数相同(10)的数相乘时，只需将指数(上标数字)相加即可⁴x 10⁵= 10⁹)。如果你经常使用该程序，通过处理许多不同类型的问题，你会发现你确实非常了解该程序背后的原因和方法。更深刻的理解源于你的大脑构建了意义的模式这一事实。不停地专注于理解本身实际上会成为阻碍。

我学到这些东西关于数学和学习的过程不是在k - 12教室但在我的生活中,作为一个孩子长大阅读玛德琳L·恩格尔和陀思妥耶夫斯基,继续研究语言在一个世界领先的语言机构,然后做出戏剧性的转变成为一个教授级高级工程师。

作为一名渴望学习语言的年轻女性，我没有钱或技能可言，无法负担上大学的费用(当时还没有考虑大学贷款)。所以我从高中直接进入了军队。我喜欢在高中学习新的语言，而军队似乎是一个语言学习可以获得报酬的地方，即使他们进入了排名第一的国防语言学院——一个使语言学习成为一门科学的地方。我选择了俄语，因为它和英语差别很大，但又不是太难，我学一辈子，也许只是为了达到一个四岁孩子的流利程度。此外，铁幕具有神秘的吸引力——我能用我的俄语知识窥探它的背后吗?

离职后，我在白令海的苏联拖网渔船上为俄罗斯人做翻译。为俄罗斯人工作既有趣又引人入胜，但这也是一种表面上迷人的移民工作形式。你在捕鱼季节出海，在喝醉的时候挣一份不错的薪水，然后在捕鱼季节结束后回到港口，希望他们明年能重新雇用你。对于在国家安全局工作的说俄语的人来说，几乎只有一种选择。（我的军队联系人一直这样指着我，但这不是给我的。）

我开始意识到，虽然知道另一种语言很好，但这也是一种机会和潜力有限的技能。人们并不是冲着我的门来寻找我的俄语能力。除非我愿意忍受白令海中部的臭拖网船上晕船和零星的营养不良。我情不自禁地回忆起在军队中与我共事过的西点军校训练有素的工程师。他们以数学和科学为基础的解决问题的方法显然对现实世界有用，远比我年轻时的数学奇遇所能想象的有用。

所以，在26岁的时候，当我离开军队，寻找新的机会时，我突然想到:如果我真的想尝试一些新的东西，为什么不尝试一些可以为我打开一个全新的世界的新视角的东西呢?类似的工程?这意味着我将尝试学习另一种完全不同的语言——微积分语言。

你在捕鱼季节出海，一边喝得醉醺醺，一边拿着可观的薪水，然后在捕鱼季节结束后回到港口。

由于我连最简单的数学都不懂，退伍后的重新训练开始于代数和三角函数的非学分补习。对于大多数大学生来说，这远远低于数学的底线。试图重新编程我的大脑有时似乎是一个荒谬的想法，特别是当我看到年轻的同学们新鲜的面孔，意识到他们中的许多人已经放弃了艰难的数学和科学课程，而我正朝着他们前进。但就我而言，从我成年后流利地说俄语的经历来看，我怀疑——或许我只是希望——语言学习可能有一些方面可以应用到数学和科学的学习中。

我在学习俄语时所做的不仅仅是强调对语言的理解，还要强调流利。语言这类整体的流畅性需要一种熟悉感，这种熟悉感只有通过与各个部分的反复和变化的互动才能得到发展。我的语言课的同学们常常满足于仅仅专注于理解他们听到或读到的俄语，而我却试图获得一种内化的、根深蒂固的对词汇和语言结构的流利。我不会满足于知道понимать的意思是“理解”。我会用动词来练习——通过把它与各种时态重复结合，来完成它的节奏，然后再把它放到句子里，最后不仅要理解什么时候该用这个动词，还要理解什么时候不该用它。我练习快速回忆所有这些方面和变化。毕竟，通过练习，你可以理解和翻译另一种语言的几十个甚至几千个单词。但如果你说得不流利，当有人快速地向你抛出一堆单词时，就像正常的口语(当你学习一门新语言时，你的口语听起来总是快得可怕)，你不知道他们实际上在说什么，即使从技术上讲，你理解所有的组成词和结构。当然，你自己也说得不够快，母语人士听你说话也不会觉得有趣。

这种注重流利而不是简单理解的方法使我在班上名列前茅。当时我没有意识到，但这种学习语言的方法让我直观地理解了学习的基本核心和专业知识的发展。

组块最初是在赫伯特·西蒙（Herbert Simon）的开创性工作中提出的概念，他在分析国际象棋时将组块设想为不同国际象棋模式的不同神经对应物。渐渐地，神经科学家开始意识到，像国际象棋大师这样的专家之所以是专家，是因为他们在长期记忆中储存了数千块关于他们专业领域的知识。例如，国际象棋大师可以回忆起成千上万种不同的国际象棋模式。无论是哪门学科，专家们都可以将其中一个或多个紧密结合在一起的、分块的神经子例程调用到意识中，以分析新的学习情况并作出反应。这种真正的理解水平，以及在新情况下运用这种理解的能力，只有通过重复、记忆和练习才能培养的那种严谨和熟悉。

对国际象棋大师、急诊室医生和战斗机飞行员的研究表明，在面临严重压力时，有意识的分析被快速、潜意识的处理所取代，因为这些专家会迅速利用他们根深蒂固的神经子程序——块。在某种程度上，自觉地“理解”你为什么要做你所做的事情，只会减慢你的速度，打断心流，导致更糟糕的决定。当我直觉地感觉到学习一种新语言和学习数学之间可能有联系时，我是对的。日复一日，持续的俄语练习激发并连接了我的神经回路，我逐渐开始将斯拉夫语的大块见解编织在一起，我可以轻松地将它们纳入工作记忆。通过交叉学习——换句话说，通过练习，我不仅知道什么时候该用这个词，还知道什么时候不该用这个词，或者使用它的另一种变体——我实际上是在使用与专业实践者学习数学和科学相同的方法。

当我成年后学习数学和工程时，我开始使用学习语言时使用的策略。举个简单的例子，牛顿第二定律f＝马．我练习着感受每一个字母的含义f因为力量是一种推力，米因为弥撒对我的推动是一种沉重的阻力一个是加速的兴奋感。(在俄语中，相当于学习用身体读出西里尔字母的字母。)我记住了这个等式，这样我就可以把它带在脑子里玩了。如果米和一个是大数字，这对我们有什么影响f当我把它推入方程时?如果f又大又一个很小，这对你有什么影响米？两边的单位是如何匹配的?玩弄这个等式就像把动词变位。我开始直觉地觉得，方程式稀疏的轮廓就像一首隐喻的诗，里面嵌入了各种各样美丽的象征符号。尽管我当时不会这么说，但事实是，要学好数学和科学，我必须慢慢地、日复一日地构建坚实的神经“分块”子程序——比如围绕着简单的等式f＝马-我可以很容易地从长期记忆中回忆起来，就像我用俄语做的一样。

数学和科学领域的教授们一次又一次地告诉我，通过练习和重复构建根深蒂固的专业知识，对他们的成功是绝对重要的。理解并不能建立流畅性;相反，流利能增进理解。事实上，我认为对复杂问题的真正理解只有通过流利的表达才能达到。

换句话说，特别是在科学和数学教育中，很容易陷入强调理解的教学方法中，避免有时痛苦的重复和练习，而这正是流利的基础。我学俄语不仅仅是因为理解，毕竟理解很容易，而且很容易溜走。（这个词是什么意思？）。我学习数学和科学的方法正是运用了同样的思想。语言、数学和科学，就像人类几乎所有的专业领域一样，都依赖于同样的大脑机制库。

一个后来，我开始了一种新的生活，成为了一名电气工程师，最终成为了一名工程学教授，我把俄语抛在了脑后。但在我上次在苏联拖网渔船上喝得酩酊大醉的25年后，我和我的家人决定乘坐横贯西伯利亚的铁路穿越俄罗斯。虽然我对这次梦寐以求的旅行感到兴奋，但我也很担心。在这段时间里，我几乎没说过一句俄语。如果我失去了一切呢?这些年来流利地说英语给我带来了什么?

果然，当我们第一次上火车时，我说俄语像个两岁的孩子。我会抓住单词，我的词形变化和变化都是错误的，我以前近乎完美的口音听起来很可怕。但基础在那里，我的俄语一天一天地进步。即使只会一点俄语，我也能应付我们旅行的日常需求。很快，导游就来找我帮忙为其他乘客翻译。当我们最终到达莫斯科时，我们跳上了一辆出租车。我很快就发现，司机一心想把我们直接引到错误的方向，把我们困在一堆车里，他以为我们这些无知的外国人会默默默许不必要的多出一个小时的计程表时间。突然，几十年没说过的俄语脱口而出。我甚至没有意识到我知道这些话。

在这一切背后，当需要的时候，流利就在那里——它很快让我们摆脱了麻烦(并上了另一辆出租车)。流利能让理解深入人心，在需要的时候浮现出来。

我今天看缺乏科学和数学专业在这个国家,和我们目前的趋势在我们教人们如何学习,我反思自己的途径,知道我现在知道的关于大脑的,我认为我们可以做得更好。作为家长和老师，我们可以用简单易懂的方法来加深理解，让它变得有用和灵活。我们可以鼓励他人和自己去尝试那些我们认为过于困难的学科——数学、舞蹈、物理、语言、化学、音乐——为我们自己和他人开启新的世界。

正如我所发现的，在数学和科学方面有一个基本的、根深蒂固的流利——不仅仅是“理解”——是至关重要的。它为生活中许多最有趣的工作打开了大门。回首过去，我意识到我不必只是盲目地追随自己最初的爱好和激情。我热爱文学和语言的“流利”部分，也是我最终爱上数学和科学的部分，并改变和丰富了我的生活。

Barbara Oakley是密歇根州罗切斯特奥克兰大学的工程学教授，最近出版了，《数字思维:如何擅长数学和科学》(即使
你代数不及格)。她还与索尔克学院弗朗西斯·克里克教授特伦斯·塞诺维斯基(Terrence Sejnowski)共同指导世界上最大的在线课程之一Coursera的“学习如何学习”(Learning How to Learn)。

这篇文章最初发表在2014年9月的《大刘海》杂志上。