在数学上，错误不再是过去的样子

vladimir Voevodsky刚自己坐下的表,设置一个晚宴的普林斯顿高级研究所,新泽西,比他推翻他的空酒杯,把碗翻过来阀杆和站在其麽信号服务员玻璃,他不会被吸入。他并不总是那么有节制，但2013年秋天，沃渥德斯基正在做一些严肃的工作。

该研究所成立于1930年，被称为“数学和理论物理的尘世殿堂”，是各种严谨的智力探索的中心。爱因斯坦的老房子就在拐角处。停车场里，一辆车的保险杠上写着“不要相信你想的一切”——这很可能是直接针对沃渥斯基的。因为在过去十年左右的职业自我反省过程中，他意识到一个数学家的工作是5%的创造性洞察力和95%的自我验证。而在晚宴前后，最近的一项发现进一步证实了这一点:他犯了一个大错误。

B沃渥德斯基在很大程度上是自己对数学产生了兴趣——最初是因为他想了解物理，后来因为他出乎意料地爱上了抽象代数。他不喜欢学术界的繁文缛节，也不去上课，用他自己的话说，他是莫斯科国立大学的“乡巴族”。1989年共产主义垮台后，他从未完成本科数学学位也就无关紧要了。他与数学家尤里·沙巴特(Yuri Shabat)和米沙·卡普兰诺夫(Misha Kapranov)一起工作和出版，建立了自己的资历。他和Kapranov对发展新的高维物体和类别的数学有着共同的热情，他们在1990年发表了一项重要的结果。

在卡普拉诺夫的推荐下，沃渥德斯基甚至没有申请就被哈佛大学录取了。1992年，他的博士论文标志着代数几何学思路的开始，10年后，他获得了菲尔兹奖，也就是所谓的数学诺贝尔奖。而在此之前的一年，也就是2001年，年仅36岁的他就成为了该研究所的正教授(自1998年以来，他一直是该研究所的长期成员)，该研究所是最受尊敬的知识圣殿。

但是在路上他遇到了困难。1998年，美国数学家卡洛斯·辛普森(Carlos Simpson)发表了一篇论文，指出Voevodsky和Kapranov 1990年的结果可能存在错误。多年来，沃渥斯基一直在筛选细节，但没有取得多大进展。他仍然相信这个结果是正确的。然后，在2013年的秋天，树叶变了颜色，夏秋交替，他取得了突破。各种各样的。他证实了这个错误。重要的结果不再那么重要了。

“这显然是错误的。主要定理是错误的，”他说。“这并不是说证据有什么漏洞。主要定理显然是错误的。”他解释说，错误在于没有对显而易见的问题提出质疑。“我们已经证明了一个断言在所有困难的情况下确实是正确的，但在简单的情况下却是错误的。我们都懒得去核实。”为了确认这个错误，他在他的官方出版物列表中添加了一个附录——“警告:这篇论文的主要定理被卡洛斯·辛普森证明是错误的。”

但即使是在澄清这件事并作出弥补时，更广泛的影响也让他感到不安。这一错误在发生25年后才被确认。这是他发表的著作中第二次发现错误。在一篇被广泛阅读和讨论并在一个不断发展的领域反复应用的论文中，还出现了另一个错误。幸运的是，这是一个较小的错误，很容易路由。沃渥德斯基通过构建一条不同的路线来对所有同样有趣和重要的定理进行修正。^1.

对大多数人来说，电脑只是一种工具，就像吸尘器一样。对我来说，这就像一个同事。

页边距还不错，大约60篇论文中有两个错误。尽管如此，他还是觉得这很麻烦。这显然不是一个意外，就像Voevodsky自己很快指出的那样，在一场关于他在其间的几年里至少给过十几次的困境的谈话中，他决心传达他的担忧。这是一篇复杂的论文。这类报纸的读者基本上会变得懒惰。“由可信作者撰写的技术论证很难验证，而且看起来与已知正确的论证相似，很少会被详细验证。”

大尺度上的数学意味着什么？

“我非常担心，”他说。担心,害怕。大约在他确认错误的同时，他也一直在研究一些新的令人兴奋的东西——他称之为“二元理论”，类似于他和卡普拉诺夫一直在探索的高维数学。它在技术上是复杂和创新的。但是他追求的热情消失了，因为他不知道他可能不会犯错误。而且，正如他刚刚了解到的，没有人会认真地去检查。这些忧虑扼杀了他的创造力。“我不再做出于好奇心的研究。因为我的好奇心引导我去探索那些有价值、有兴趣、有美感的领域，我没有工具去探索。”

无论如何，这一点也不确定。根据Voevodsky自己的洞察与验证比率，他每花一个小时在一个想法上，就需要花19个小时来确保它是正确的。或者更多。“见解越有独创性，”他说，“人们在以后的自我验证中就越需要为此付出代价。”这代价太高了。

沃渥德斯基认为，他能继续下去的唯一办法就是雇佣一个“证明助手”——一种可以防止他在错误的道路上走得太远的计算机程序。自2003年以来，他一直在研究计算机辅助数学正式化的前景。他说，这个错误“对我来说就像一件小礼物，让我的论点更有力。”

正如他所描述的那样，与校对助手一起工作的经历有点像玩电子游戏。他在和电脑比武。他指示它尝试这个，尝试那个——他甚至可以指示它尝试已知错误的东西，只是为了看看会发生什么。他表示:“这是非常具有互动性的。”“这可能很有趣，令人兴奋，有点上瘾。”当他犯了错误时，他输入的所有断言，一行又一行，都在他眼前消失了(尽管他将工作保存在一个名为“leftovers”的文件中)。

这样一来，一旦沃渥斯基证明了某件事，他就肯定它是真的。他不怀疑争论中是否潜藏着错误，也不担心如何说服同事。鉴证助手提供一枚证明其真实性的印章。

vOevodsky被认为是这个领域的先驱，但证据助手的概念已经出现一段时间了。第一部作品《自动驾驶》(Automath)可追溯到1968年。随着时间的推移，一个庞大的证明助手生态系统进化了，有无数的设置，计算机被用作一种工具，模仿传统数学是如何完成的。计算机本质上是教人类如何做数学，用公理编程，并要求它使用逻辑定律来推导证明。

另一种方法是利用计算机来探索全新的数学、新方法和新程序。例如，罗格斯大学(Rutgers)的数学家多伦·泽尔伯格(Doron Zeilberger)引用了他的合著者沙洛什·b·埃克哈德(Shalosh B. Ekhad)的话，自20世纪80年代以来，他发表了多篇论文。“对大多数人来说，”Zeilberger说，“电脑只是一个工具，就像吸尘器一样。对我来说，它就像一个同事。”他希望此举将带来革命性的效果。他说:“传统数学是基于严格的形式证明的概念，我认为这将过时。”“我认为，由于计算机是如此强大，它们开辟了新的前景，而如此严格地证明一切的旧议程不再像以前那样令人兴奋。”

在发现的那一刻，你实际上停止了思考。就像一个艺术家，你连接到一些远远超出逻辑、思考和计算的东西。

然后是纯粹主义者，老派。普林斯顿大学的数学家约翰·霍顿·康威说:“我对计算机证明不感兴趣。”“我更喜欢思考。”他指出，具有讽刺意味的是，他的官方头衔是由IBM赞助的应用和计算数学约翰·冯·诺伊曼教授——“我整天坐着计算，但我不用电脑来做这件事。”

康威以发现数学对称的康威群、超现实数字和细胞自动机的生命游戏而闻名。他对娱乐数学很感兴趣，对四色地图定理也很感兴趣。但是在1976年，在数学家肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯的要求下，四色地图定理成为计算机证明的第一个定理，于是他就加入了纽约时报作为“一项重大的智力成就”，他对结果并不像他原本可能那样感兴趣。他也喜欢修改关于三维空间中填充球体的最大密度的开普勒猜想，但当托马斯·黑尔斯在1998年用线性规划解决这个问题时，康威感到很不满意。对康威来说，电脑扼杀了人们的兴趣。虽然他不是评判的人。他不介意别人用电脑。“这不是我。”

历史上，纯粹主义者并不总是如此平静地看待这个问题。计算机对四色猜想的证明引起了争议，大多数数学家拒绝接受它:计算机+数学=禁止。正如伯克利大学的爱德华·弗兰克尔教授所说纽约时报2013年阿佩尔去世后，“就像一个具有里程碑意义的最高法院案件，证据的遗产仍然受到人们的关注和热烈辩论。”

广义地说，反对使用计算机的论点是对人类丧失直觉和理解力的哀叹。因为计算机的判断而承认某件事是正确的，这和知道是不一样的为什么这是真的。有人可能会认为，这类似于依赖互联网上关于威尼斯神秘之处的评论，而不是去那里，在水上出租车上挥霍一番，亲自体验魔法。但是，同样的难题出现在基于以前的结果而不是从头开始。

“计算机是好的，而且在它们被设计用来做的事情上通常比人类好得多，”这本书的作者弗伦克尔说爱和数学．“这就是计算……但我们必须认识到，数学研究不是关于数字或计算。它是关于寻找看似不相关的事物之间的联系，它是关于看到看不见的东西。可以不仅通过计算就可以得到。作为一名职业数学家，我可以告诉你，数学的发现对我们来说是一种洞察力。在发现的那一刻，你实际上停止思考．就像一个艺术家，你连接到一些远远超出逻辑、思考和计算的东西。这就是数学的魅力。”

Voevodsky自己也很小心地区分了计算机应该或不应该被使用的各种方式。他说:“很多人不明白使用计算机进行计算、计算机生成校样和计算机辅助校样之间的区别。”“计算机生成的证据教给我们的东西很少。有一种正确的看法是，如果我们追求计算机生成的证明，那么我们就会失去数学中所有的优点——数学作为一种精神学科，数学作为一种有助于形成纯净心灵的东西。”

更广泛的错误发生的文化和实践是一个更大的障碍，威胁着数学的基础和未来。

但他说，计算机在数学中的应用逐渐被认为是不可避免的。关于计算和计算，特别是在上一代和下一代中，它已经相当普遍，如果没有得到充分承认的话。弗伦克尔同意这一观点，他说，使用计算机验证证据是一种预期的、受欢迎的趋势。随着巍峨的数学事业达到新的高度，伴随着更加复杂和深奥的尖峰，每一位从业者都在钻研即使在同一领域的同事也永远无法理解的细节，计算机将是推动事业发展的必要条件，并验证结构的完整性——一个细节如此复杂、规模如此庞大的结构，单靠人工裁判将不再可行。

Voevodsky甚至更进一步，认为证明助手的作用——以及计算机的普遍使用——超越了避免错误的孤立的实际实例。因为更广泛的错误发生的文化和实践是一个更大的障碍，威胁着数学的基础和未来。错误可能是对正确证明某件事真正涉及的东西的忽视的症状。错误，他说，可以激发“直接的不诚实，声称已经证明了某件事，但实际上并没有做到。”这是当今数学的一大力量。”

他认为：“没有人会故意做一些不好的事情。”。但是，如果一个数学家必须做出选择，要么在没有仔细研究校样的细微差别的情况下提前出版，要么在晚些时候出版，让竞争对手领先，那么诱惑就是忽略细节，牺牲校样的质量，现在就出版。“然后，如果你读了别人的论文，而其中的细节更少，你会想，‘如果这是今天的正常情况，那么我就正常了，下次再写更少的细节。’”你的学生看了你的证明，了解到事情就是这样做的，然后学生四处转悠，完全诚实地认为自己做的是正确的事情。”这是一个逐渐的滑动——“标准的解体”。证明助手推动数学家朝着另一个方向前进。

此外，即使有错误，也很少有启发性。就连康威也抗议说，他从来没有遇到过任何形式或形式对他有利的错误。康威喜欢到处炫耀自己的古怪错误，让别人看到自己的不完美。而Voevodsky驳斥了这样一种观点，即在数学上误入歧途可能就像在纽约迷路，偶然发现了一个宏伟的隐藏花园。“嗯，首先你得住在曼哈顿，否则你可能会发现一些不那么令人满意的地方。”

所以这些天，沃渥德斯基在他的证明助手之间来回奔波，一边严谨地一行一行地列出定义和定理，另一边是他更传统的努力，用铅笔和纸绘制图表，勾画出想法。他说:“与校对助理一起工作让我想起了什么是真正的校对。”“这让我在手写数学时能够提供更详细的证明。”每当他想走捷径的时候，比如，这个的证明和那个的证明是相似的或这很简单……或这是显而易见的……-他不得不问自己，在我值得信赖的举证助手的陪伴下，我能通过这样不靠谱的推理逃脱惩罚吗?

“显然不是。”

Siobhan Roberts是多伦多的作家。她的新书，天才在起作用：约翰·霍顿·康威的好奇心，将于今年7月由布卢姆斯伯里出版社出版。