掷硬币和三角恋

英汉传2:2我又转念，见日光之下，快跑的未必得比赛，有力的未必得争战，智慧的未必得粮食，聪明的未必得赀财，灵巧的未必得喜悦。但是时间和机遇会降临在他们身上。”
(传道书9:11，钦定王圣经(剑桥纯译本))

C拱腰似乎是一个单一的，单一的东西。但它的家谱，它的家族史，却是一团乱麻。理解其分支起源的一种方法是转向文学:我们可能会转而看两本完全不同的小说。

安东·齐格，科马克·麦卡锡小说中的反派老无所依，强迫受害者猜掷硬币的结果，如果他们猜错了，就会自杀。麦卡锡的恶棍以最残忍的方式强迫受害者们盲目地碰碰运气。这种可能性完全被控制住了，不是在齐格，而是在大自然本身。这是不确定性的一个来源。

为了了解第二个消息来源，我们从麦卡锡的美国西南部尽可能远的地方出发。亨利·詹姆斯的第一卷鸽子的翅膀结尾是美国富家女继承人米莉·希尔参观伦敦国家美术馆。令她惊讶的是，她在最好的朋友凯特·克罗伊的陪伴下，看到了她的熟人默顿·丹舍。这本书的情节从现在开始就围绕着一个问题:米莉会知道读者已经知道的事情吗——默顿和凯特相爱并秘密订婚了。

在这一集里，从米莉的角度来看，我们可以看到凯特如何——被拍到分享一个亲密的下午——为她的朋友产生了另一种假设:默顿很可能喜欢她，但她，凯特，却不喜欢他。

以下是自然界中没有的不确定性:关于概率的概率，关于他人信念的信念。

对我们许多人来说，掷硬币的物质世界可能是机遇的代名词。但三角恋爱的认知世界同样令人担忧，在其极限下，它就像一枚翻滚的硬币一样，是一种偶然。我们人类有能力引入某种程度的不确定性，既令人眼花缭乱又不可避免。

因此，传道书是正确的两倍。自然的和人类的不确定性，即使是敏捷的、强壮的、聪明的和能干的人也必须处理。我们的目标是展示每种不确定性的深度，并引入数学来帮助我们解决这两种情况。

一、抛硬币

“你在抛硬币时看到的最失落的是什么?”
（老无所依，科马克·麦卡锡[2005])

有足够多的虚构杀人犯玩弄受害者，如今这种想法近乎于cliché和拙劣模仿。但齐格的游戏仍然让我们感到不寒而栗，也许是因为他的信息的集中形式。他的不偏不倚、致命的抛硬币行为提醒我们，在我们的生活中，机遇占主导地位。

从我们避免或遇到的事故，到我们建立的关系和与我们联系在一起的机构——关于我们自己的每一个事实似乎都取决于一系列事件，其中任何一个都可能走向另一个方向。站在这样一个巧合之塔的顶端往下看，我们会感到一阵眩晕。我们会问，生活的哪些方面是真实的，哪些只是运气?

一方面，这个问题是许多文学和艺术的核心;另一方面，这是数学科学中的一个实际问题。

许多虚构的杀人犯都玩弄过受害者。

特别是数学的一个分支信息理论关注如何描述机会和不确定性。它调和了任何特定生命的不可能与直觉的感觉，一个人的生命的形状不仅仅是一个偶然的问题。

让我们从头开始，从巧合之塔的底部开始。假设chigur的抛硬币结果是正面或反面的概率相等。受害者应该考虑哪些可能的策略?总是猜尾巴吗?正面?一些变更吗?

如果掷硬币是公平的，没有哪种策略比另一种更好。事实上，策略是无法区分的。这是由于问题的对称性:我们可以在任何时候交换Chigurh硬币两面的标签，从而将任何处方转换成任何其他处方。在麦卡锡的沙漠景观中，策略和理性毫无意义。机会的眩晕笼罩着我们。

当然，这并不能描述我们通常所面对的世界。在我们的世界里有可预测性，结果之间有偏好¹以及理性选择的可能性。不对称使理性与我们的生活相关。

但这并没有把我们从机会的眩晕中拯救出来。例如，假设齐格的硬币正面朝上的可能性稍微大一些。现在，策略是不同的。对于正面偏置的硬币，最合理的策略总是猜测正面。

在你的一生中，你需要做很多决定。如果你要猜掷硬币的次数不止一次呢?考虑把有偏差的硬币扔一千次。由于每次抛掷都是独立于前一次抛掷的，所以最有可能的结果是每一次抛掷中最有可能的结果的重复出现。因此，在我们所能预见的所有可能的历史中，最奇怪的顺序是一连串的脑袋:

HHHHH……H, 1000倍

是最有可能的单身。直觉告诉我们，这样的序列实际上永远不会发生。

当然，我们是正确的。固定硬币的偏差为60%正面朝上。第一次掷出正面的概率(根据定义)是6 / 10;连续两次正面，略多于三分之一。连续出现3次正面的概率仅略高于1 / 5。

在麦卡锡的沙漠景观中，策略和理性毫无意义。

连续运行的机会呈指数级下降;连续十次正面朝上的几率不到1%，再多几次两次就足以让这种几率超出天文数字。即使在宇宙存在的130亿年里，每秒钟就完成一次这样的序列，也不太可能在80次抛硬币中看到连续不断的人头。

我们已经确定，一串完整的头颅是极不可能的。但其他历史更是如此。随着时间的流逝，每一个故事都变得极其罕见。尽管存在一个最理性的选择，你的生活细节描述了一条非常不可能的道路。象征理性可能性的偏币，并没有减轻我们的眩晕感。

然而，我们也知道一些事情是常规，预期——有时甚至是我们出生的一部分——和其他不那么普通的东西。友谊可能取决于共同参加过新生研讨会，但在大学里交到朋友的可能性就那么小吗?

这种直觉有一个数学基础，叫做典型的集．典型的集合是我们正常感觉背后的数学。它通过将单一事件的性质与它所属的历史属性联系起来，调和了理性和偶然性。它不仅挑战了有偏见的概率，还挑战了纯粹机遇的眩晕感。

考虑所有可能发生的历史事件的空间:可能发生的每个事件序列的详尽列表。每一次抛硬币，每一个决定。典型的集合限定了这个空间中的一个很小的区域，并描述了我们随着时间的推移，越来越可能遵循的路径。给定一个个体决策的概率处方，典型的集合会选择一个历史列表，这些历史的不确定性累积率变得越来越接近，平均而言，与这些历史本身的固有概率相匹配²．

让我们回到新生研讨会。你的大学生活是一系列的偶然事件，其概率是由一个有限的列表所决定的:你的专业，你的年龄，等等。随着你大学生活的继续，你可能经历的历史集合与你的约束条件定义的典型集合趋同。每一个个体的历史都有丰富的特质，而这些特质都是从一组狭窄的可能性中提取出来的，而这些可能性比所有可能发生的事情的空间要小得多^3.．

尽管存在一个最理性的选择，你的生活细节描述了一条非常不可能的道路。

我们被留在一个极其模糊的地方。典型的场景拯救了正常，但也讲述了典型的生活，常见的故事:男孩遇见女孩，狗咬人。《传道书》(Ecclesiastes)的作者也知道这一点，他写道“日光之下无新事”。对于跑得最快的人来说，比赛可能会进行一次，甚至两次，但在最长的时间尺度上，没有一个连胜是不间断的。

与此同时，我们的过去和未来——甚至是我们最有可能的未来——在细节上都是极不可能的事情。

一个信息理论家可能不知道我们生活的确切世界，但她知道，从长远来看，这是一个典型的世界．她也知道她不知道什么⁴．

抛硬币和新生研讨班作业也就到此为止了:这些都是我们自身之外的东西，由现实世界的机会驱动⁵．然而，这些物质并不是生命不确定性的唯一来源，甚至也不是最重要的来源。为了看到这一点，我们将目光从科马克·麦卡锡的美国西南部转向亨利·詹姆斯的伦敦。

2爱的三角

“的确，一点一点地，在凯特行为鲜明的情况下，这些可能性又回到了原来的顺序。”
（鸽子的翅膀，亨利·詹姆斯[1909])

关于我们推理结构的一个显著事实是，概率不仅可以被理解为现实世界中结果的可能性，还可以被理解为我们头脑中信念的力量⁶．直到20世纪40年代，物理学家理查德·考克斯(Richard Cox)从一组逻辑假设中推导出了概率论定律，人们才明确认识到这一点。他的作品随后被一些关键人物改编，比如埃德温·杰恩斯(另一位物理学家)，建立了一种基于偶然性的描述度的信仰-从有偏见的硬币变成对它们有偏见的想法。

正是在后一种对机遇的理解下，詹姆斯的叙述才最出彩。米莉必须弄明白这意外:默顿和凯特一起在国家美术馆。在凯特故作姿态的影响下，她必须形成一套信念——一套关于信念的信念的“概率”。詹姆斯的自我反思的散文中充满了难以追踪的高阶思想——也许这就是为什么人们曾说詹姆斯“咬得比咬掉的还要多”。

我们的过去和未来，就其细节而言，是极不可能的事情。

尽管数学与物理世界的原始可能性相距甚远，但它也能帮助我们理解如何描述这些信念，并向我们展示它们如何开始类似原始可能性。

从一些符号开始，让我们来表示这个人X相信一句话年代在表单中BX（年代)，读作“X相信s”。⁷．

米莉和默顿之间发生的认识，以及故事的开始，可以这样描述。默顿先看到了米莉;他当然意识到了这一点，所以我们可以这样写:

BMerton(“默顿认为米莉”)

或者，换句话说，“默顿相信默顿看到了米莉”(如果我们避免用代词来表示咒语，就会省去很多麻烦)。

然后米莉看到了默顿。由于她也有自知之明，

BMilly(“米莉看到默顿”)

故事告诉我们，当她能看到默顿能看到她时，我们也看到了

BMilly (BMerton(“默顿认为米莉”))

或者"米莉相信默顿相信默顿看到了米莉"这种认可不仅是相互的，对这种认可的认可也是相互的，所以

BMilly (BMerton(“米莉看到默顿”))

事实上，默顿也知道这种认可，所以

BMerton (BMilly (BMerton(“米莉看到默顿”)))

借助数学符号，人们可以看到这些塔的范围可能是无限的，在每个点上都有可能是真或假的信念。

博弈论学家——用一种漂亮的简化方式——使用了这个术语常识指的是句子年代是真的，任何任意嵌套的信念函数都涉及到个人的知识状态年代也是真的。常识通常与社会规范联系在一起，比如遵守交通信号灯和礼貌，但在这里，我们可以看到无限的塔，在目光的交汇中立刻出现。

并非所有形式的信仰都是普遍持有的;事实上，正是常识的失败推动了许多叙事(包括那些《奥赛罗》，哈姆雷特以及几乎所有的莎士比亚喜剧)。

只有后米莉和默顿已经认识了对方，换句话说，游戏开始了。在尴尬的遭遇后，米莉邀请默顿和凯特到她的酒店，以便出现凯特的暗示是，在米莉看来，这种遭遇一定是“奇怪的”，但它有一个简单的解释。米莉这么做的部分原因是，她认为最好的解决办法是采用并强调她的“本土木音”，这是她自己自发的美国态度。她觉得，这将减轻她在单相思(也就是默顿的)爱情场景中跌跌撞撞时的压力。

简而言之:米莉相信凯特相信这一幕引起了对米莉的信任;米莉，坚持自己的信念，试图诱导对凯特的一种新的信念。这种思维模式虽然微妙，却是真实的;它们很难用英语恰当地表达出来(尽管詹姆斯当然尝试了)，但更符合上面的形式主义。

米莉这么认为是因为

BMilly (BKate (BMilly(“酷儿”)))

和

BMilly(“一个人应该直截了当”)是最好的回答，

这种尴尬的困境可以通过这样的行动来解决

随着时间的推移，一个无辜的解释将会出现。

米莉对自己推理的复杂性感到自豪⁸她的动机是想成为凯特的好朋友。当然，她没有意识到，这个英国女孩把米莉所有的信念都藏得更深，并做出了适当的回应，从而掩盖了一个重要的事实:默顿的爱实际上得到了回报⁹．在每个阶段，这些信念函数都带有概率——信念的程度——以越来越复杂的方式叠加在一起。

典型的集合是第一部分的星星:它让我们了解了不确定性的本质。这种不确定性的来源来自物质世界。在第二节中，我们已经看到如何描述不确定性的出现，在思考，竞争的代理人。将机会扩展到社会世界需要一套新的数学工具。这些工具清楚地向我们展示了螺旋复杂性和反思性的潜力，我们现在可以准确地命名为:BMilly(BKate(BMilly…

3反身性的极限

在足够复杂的情况下，社会和自然的不确定性，无论是在原则上还是在实践中，都变得难以区分。读者可能会发现鸽子的翅膀如果他们被迫依赖于詹姆斯的后续小说的Merchant-Ivory版本，甚至更隐晦的小说，他们并不孤单，金碗．

换句话说，我们的认知在自然科学的发展中是无限的，当我们在街上走着时，遇到一个从另一个方向来的陌生人，我们对称地礼貌地左右移动，试图给他让路，但却失败了，这似乎是最容易出错的。

将机会扩展到社会世界需要一套新的数学工具。

我们想到，最好的解决办法往往是听天由命。当我们的社会环境要求我们考虑太多关于信仰的相互信仰时，我们就变成了——相对于我们更好的知识——神秘主义者。我们把偶然性和随机性归因于别人，却不能归因于自己。他人的思想变得过于复杂，我们对待社会世界就像对待自然世界一样——从根本上是不可知的，从根本上受制于偶然。

把握我们判断自己和他人信仰确定性程度的能力的极限，是人类的一个典型特征。有了这样的理解，一个人从心理理论跨越到机遇理论的关键是先天能力的平衡和关于什么是美好生活的哲学选择。

你可以想象一个科幻小说中的装置——一个概率计，用来测量自然和人类对不确定性结果的不同贡献。在一般的公司会议室中，有多少不确定性是由自然因素造成的(例如，恶劣天气延误零件运输的可能性)，又有多少是由人类参与者的战略造成的不确定性(例如，拒绝向供应商披露最终生产目标)?当然，这样的仪表可能会在任何真正的董事会中造成严重破坏——而且它本身也是其读数的来源。

社会和自然的不确定性就像二氧化碳的自然和人为来源。当二氧化碳到达大气时，其来源几乎没有影响。但我们在处理社会和自然不确定性方面的能力存在本质差异。现代世界的技术和规划已经把许多自然的不确定性变成了近乎确定的东西。然而，在人类互动的更高层次方面却不是这样。

并不是说我们没有努力。今天，机器管理着我们对机遇的大部分反应。他们这样做通常是通过对我们自己的理想推理的一个低级的近似。现代算法不仅会对环境的输入做出反应，还会对这些输入的可信度做出反应。

使用这种所谓贝叶斯方法的机器学习系统，不仅可以监测现代汽车和电传客机的防锁死刹车，而且已经广泛应用于社会领域。除了其他事情之外,他们提供的估计和程度的相信学生的学习能力(作为自动essay-grading算法所使用的SAT考试的教育考试服务中心)和夫妻的浪漫的兼容性(作为算法的一部分开发的网上约会服务eHarmony)。

然而，计算机在高阶系统建模方面的能力远不如人类。在国际象棋游戏中，他们能够准确地估计出最佳走法，但在扑克等游戏中，他们的表现却很差，因为这些游戏不仅需要估计手头的事实，还需要估计其他玩家对这些事实的看法。

现代算法不仅会对环境的输入做出反应，还会对这些输入的可信度做出反应。

那些天真地玩“最优”扑克游戏的机器——用可怜的手折牌，用更好的手坚持玩——可以通过更好的概率估计击败头脑简单的人类玩家。但他们惨败给了一个更专业的玩家，后者可以了解潜在的策略，并根据机器的风险容忍度，更准确地虚张声势。

因为我们有分配给机器推理任务,远远超过自己的能力,因为每个连续限制计算机的力量相对于人类理性的下跌,我们可能会问:我们能期待最后一个域妥善周到的人类仍然无可匹敌的专家保持未受侵犯的?机器最终会金碗为我们吗?也许——让我们推测一下——可以为剧中人物所面临的困境找到新的解决方案?

比文学批评更赚钱的途径。公司会不会有一天把超级计算机放在董事会会议室和实验室里，以便更好地预测和应对竞争?

尽管很少有人因为押注于技术进步而致富，但实现对他人思想的完全自动化的反射性知识的最后一步似乎还很遥远。甚至有理由相信，这种搜索将等同于构建一个有意识的存在，或者提出一些人类和机器都无法回答的问题¹⁰．如果发生这样的事情，我们的世界将在一瞬间变得面目全非。但《传道书》中的一句话仍然存在:时间和机遇会降临在他们身上——机器和生物都是如此。

西蒙·迪迪欧(Simon DeDeo)是圣达菲研究所的研究员。他在自然和人工系统的认知结构方面的工作得到了国家科学基金和紧急机构项目的支持。