MAegan Ayers和她的那个男朋友Nathan Socha面临着2009年秋天的困境。他们在牙买加平原的波士顿邻里出售了完美的小公寓：在地上，距离最近的一英里” train station, and close by Boston’s Emerald Necklace, a seven-mile chain of parks and bike paths. Federal incentives, low prices, and high rents had made home-buying an unusually attractive proposition, and the pair was eager to snap up the condo.
但是，正如这对夫妇的父母温和地指出的那样，艾尔斯和索查还没有结婚，甚至还没有订婚。如果他们的关系恶化，他们将得不到已婚购房者所享有的保护。作为“共同租户”，他们中的一人可以合法地将公寓出租，甚至将他或她的份额卖给一个完全陌生的人。如果分手，艾尔斯和索查想知道，他们如何避免因共同拥有的公寓而发生冲突？
许多家庭都面临着艾尔斯和索查的窘境——如何公平分配梦寐以求的财产。有些人实现了令人满意的分裂，甚至在这个过程中得到加强;其他的则四分五裂。尽管有这些高风险，但家庭分配资产的方法往往非常特别。
艾尔斯和索契做了不同的事情：他们转向数学。
P也许书本上最古老的公平分割方法——自古以来就被孩子们使用——是“我切，你选”的方法，在两个人之间分割一块蛋糕。一个人把蛋糕切成两块，另一个人可以选择拿哪一块。亚伯拉罕和罗得就是这样分地居住的:亚伯拉罕分地，罗得选择约旦河，把迦南留给亚伯拉罕。
“我割，你选”有一个非常吸引人的特点:它没有嫉妒，这意味着参与者都不愿意用自己的股份换另一份。切蛋糕的人，或者切土地的人，或者切其他可分割物品的人，从她的角度来看，有动机使两份股份尽可能平等，因为她不知道她最终会得到哪一份。如果她的切割工作做得很好，她会满足于任何一块。另一个参与者可以选择她最喜欢的棋子，所以两个人都不愿意交易。
但是，当分配的好东西不是同质的——当蛋糕上有各种不同的糖霜，或者土地上有肥沃的山谷、富含矿物质的山脉和干旱的沙漠——“我切，你选”的方法在其他公平和可取的重要衡量标准上就显得不够。
在一些除法问题中，数学家已经证明不存在理想的分裂。
在这些情况下，选择器比刀具有明显的优势。为了安全起见，切蛋糕的人必须把蛋糕分成两块，两块对他来说价值相等。但选择器可能与刀具有很大不同的偏好。也许从选择者的角度来看，其中一块价值60%，另一块价值40%。如果是这样，他会很高兴地拿走比他认为的一半多很多的蛋糕。在数学语言中，“我切，你选”的方法是不公平的。
不仅是该方法不公平，它也可能无法给每个人对他最有用的份额。例如，假设约翰和简正在分享一块半香草和半巧克力的蛋糕。John喜欢Vanilla，而简更喜欢巧克力。理想的分裂显然是为了约翰来获得巧克力的一半和简巧克力。但是，如果约翰是刀具，否则除非他知道Jane的偏好，否则理想的分裂会给他出现风险太大：他可能会失去整个香草一半。所以他会将蛋糕分成两块相同的作品，每种味道等量。该司并不“有效”：还有其他部门可以改善一些或所有参与者的股票，而不会让任何人更糟糕。
数学家已经证明，当两个人在分一块蛋糕时，总会有一些同时没有嫉妒、公平和高效的划分（要了解为什么这是真的，请参阅侧栏：蛋糕是公平的游戏）。但是没有简单的算法来识别这个理想的分割。而且，在其他一些除法问题中，数学家已经证明，甚至不存在理想的分裂。取而代之的是，过去20年来，数学家们开发了一个严格的框架，用于探索不同类型部门所需的权衡，帮助澄清离婚、死亡和撤资的后果。
O埃尔斯和索查采用的一种直接的方法被称为“猎枪条款”，类似于商业合同中常见的“我割，你选”。该条款规定，例如，如果一家企业的两名所有者想要分道扬镳，其中一人将提出收购价格，另一人将选择以该价格收购或被收购。就像“我切割，你选择”，这种方法没有嫉妒，但不公平:选择者比提议者更好。公平结果公司(Fair Outcomes)的律师兼首席执行长詹姆斯•林(James Ring)说，结果是，关于谁该提议、谁该选择的争论有时会导致多年的诉讼。
相反，艾尔斯和索契致力于在发生分手的情况下，他们将使用一个相对较新的算法，称为公平买入销售，以确定其中哪一个会购买另一个人的份额，并以什么价格购买。公平买卖于2007年由纽约大学政治教授的Ring和Steven Brams设计，并要求每个合作伙伴同时提出买断价格。如果约翰提出110,000美元，Jane提出100,000美元，那么较高的投标人，将以105,000美元的价格购买Jane。与霰弹枪子句不同，这种方法是公平的：每位参与者最终有钱或商业 - 以优于他或她的报价更好。“两个参与者总是得到一个比他们提出的更好的解决方案，”戒指说。而且业务总是转向重视它的伙伴。
这个算法加入了一长串其他算法，比如调整后的赢家和平衡交替。然而，与公平分配的处方一样重要的是，理解什么时候完全公平是不可能的，或者是以牺牲社会福利为代价的(社会福利衡量的是哪些物品会流向最看重它们的人)。在2013年1月的美国数学月刊和格拉茨大学的Christian Klamler和蒙特克莱尔州立大学的米高锺斯一起发现，当三个人在分蛋糕时，有时不可能找到一个同时嫉妒、公平和高效的部门。类似地，当三个人必须划分一个不可分割的项目集合时，有时需要在无嫉妒解决方案和有效解决方案之间进行选择（有关发生这种情况的简单示例，请参见侧栏：嫉妒与效率）。
“数学奠定了可实现的限制，”布拉姆斯说。“那么问题是，如果你无法得到一切，你想放弃什么属性？”
也许我会说我会以100,000美元的价格为你买出来，但如果你想给我买出来，你必须支付20万美元。这是人性。
在这方面，也出现了一些服务来提供帮助。一项新的免费在线服务splidit将允许用户自行决定在多大程度上放松公平的观念。它的除法算法要求参与者选择一个特定的公平标准——要么是不嫉妒，要么是两个较弱的标准之一。然后，该算法在选择的公平水平上寻找能产生最高社会福利的部门，在这种情况下，社会福利是由所有参与者的奖金价值之和来衡量的。参与者设定的公平约束越高，社会福利可能越低，反之亦然。
splidit算法的内部工作不像Fair Buy-Sell算法那样透明。不过，匹兹堡卡内基梅隆大学(Carnegie Mellon University)的计算机科学家阿里尔·普罗卡西亚(Ariel Procaccia)认为，即使是有数学恐惧症的人也能使用这个网站:算法生成的划分应该会为自己说话，他说。
他说:“人们应该能够看到一个提议，并看到它是有意义的——他们喜欢自己的份额，不想与任何人交换。”
有时候，我们需要在最公平和最有社会价值的物品分类中做出选择。例如，假设约翰、简和莎莉正在分配他们祖母的家具和财产，他们每个人按照自己的喜好列出物品:
只有一种方法可以划分这些物品，保证不会产生嫉妒：
约翰:沙发和电视简:双人沙发和相簿莎莉:古董书架和钢琴
通过这个司，每个人都喜欢他或她的分享比其他人更好。
但这种分工效率不高。如果约翰和简都能用电视机和loveseat做交易，并制作《部门》的话，他们会更快乐：
约翰:沙发和双人沙发简:电视和相簿莎莉:古董书架和钢琴
这个新部门效率很高，如果不让至少一个人的境况恶化，就无法进一步改进。约翰和简的交易似乎是无害的，因为这并没有让萨莉的份额变得更糟。但这可能会让萨莉嫉妒：沙发和爱情座椅是她最喜欢的，如果她认为它们是一对很好的组合，她可能会觊觎约翰的份额，而不是她自己的书架和钢琴。
没有哪个部门是既不让人嫉妒又高效的。哪种划分对约翰、简和莎莉最有意义取决于他们特定的关系和价值观。
W虽然公平除法算法已经取得了长足的进步，但它们在现实世界的使用可能很复杂。首先，人类对公平的看法同样令人信服，但相互排斥。例如，当兄弟姐妹在分割父母的遗产时，每个兄弟姐妹应该得到相同的份额，还是在父亲最后一次生病期间照顾他的兄弟姐妹应该得到更多?公平分割算法不能对一个家庭做出这样的决定。
加州大学欧文分校(University of California, Irvine)的社会心理学家彼得·迪托(Peter Ditto)说:“根据算法的表现，它可能会冒犯任何一方的道德情感。”“很难满足我们所有关于公平和正义的直觉，因为它们往往相互冲突。”迪托说，我们的满足感更加复杂，因为进化已经把我们磨练成不公的探测器，所以“我们经常觉得自己被搞砸了，即使我们并没有。”考虑到解决方案的复杂情绪反应，我们与除法算法的关系显然并不总是简单的。
与此同时，数学算法的公正性质可以帮助人们挑逗自己的潜意识动机并驯服其过敏的不公平雷达。这就是当公平买卖的时候曾经发生过丑陋的兄弟们在兄弟姐妹之间拖延的丑陋的丑陋，这是谁继承了家族企业帝国的兄弟姐妹，并且不能同意谁会买出谁。
“每一边都声称另一方的价格太少了，”戒指说。“这就是人们在冲突中行为的行为如何，如果他们不相信 - 也许我会说我会以100,000美元的价格购买你，但如果你想给我买出来，你必须支付20万美元。这是人性。“
当他的一个兄弟的律师要求他使用Fair Buy-Sell算法时，选择一个价格插入系统的过程让他顿悟:他实际上并不想要这笔生意。他意识到，他之前的不妥协态度，是企图以他的兄弟姐妹为代价，不公平地获利。公平分割算法提供了“一个非常强大和积极的东西，”林说。"为了得到我想要的，我不需要对你撒谎，虐待你也不需要假装关心一件事很多年"
像Fair Outcomes和splidit这样的Division服务提供了一个数学视角，用户可以通过这个视角查看自己的动机。他们会选择强调自由嫉妒还是社会福利?如果他们连一个没有嫉妒的分裂都觉得不可接受，他们是出于报复心理吗?正如安大略省滑铁卢威尔弗里德·劳里埃大学(Wilfrid Laurier University)数学教授兼主席马克·基尔古尔(Marc Kilgour)所说，公平分配的数学方法“为存在已久的各种行为提供了一种光明”。
至于Ayers和Socha，他们最终并没有调用Fair Buy-Sell算法。后来，梅根·艾尔斯(Maegan Ayers)改名为梅根·索查(Maegan Socha)，这对夫妇最终卖掉了他们的公寓，搬到了罗德岛(Rhode Island)，他们的第一个孩子将在7月份出生。回顾过去，梅根认为他们的公寓购买和公平合同是这对年轻夫妇步入成年的过程。她回忆说:“当时我认为，成熟的一部分就是足够大，可以做出这样的决定，我很高兴我们处理这件事的方式。”“这是对彼此的信任和信心的标志，我们知道，如果事情没有成功，我们不会对彼此不公平或伤害。我们会保留一些东西，即使这段关系失败了。”
Erica Klarreich是位于加利福尼亚州伯克利的数学和科学作家。她的工作在2010年和2011年的卷中出现了最好的数学写作。
