我1974年，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）创造了一套革命性的瓷砖，可用于以永不重复的图案覆盖无限平面。1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼（Daniel Shechtman）发现了一种金属合金，这种合金的原子结构不同于材料科学中所观察到的任何东西。彭罗斯以数学界罕见的规模赢得了公众的赞誉。谢赫特曼获得了诺贝尔奖。两位科学家都无视人类的直觉，改变了我们对大自然设计的基本理解，揭示了在一个高度有序的环境中，无限的变化是如何产生的。
他们突破的核心是“禁止对称”，所谓“禁止对称”，是因为它与对称和重复之间根深蒂固的联系背道而驰。对称性是基于反射轴的，任何出现在直线一边的东西都会在另一边复制。在数学中，这种关系反映在平铺模式中。对称形状（如矩形和三角形）可以覆盖一个既没有间隙也没有重叠的平面，并且以不断重复的模式。重复的模式被称为“周期性”，并被称为具有“平移对称性”。如果你将一个模式从一个地方移动到另一个地方，它看起来是一样的。
彭罗斯，一个加粗，远大科学家，在相同的模式和重复，并且更在无穷的变化感兴趣以下。准确地说，他感兴趣的“非周期性”平铺，或设置可覆盖既不间隙也不重叠的无限平面的瓷砖，而不平铺图案曾经重演。这是一个挑战，因为他无法对称矩形，三角形，正方形和二，三，四或六轴用砖六边形，因为无限平面它们会导致周期性的或重复的模式。这意味着他不得不依靠形状认为离开在一个平面上，那些禁止对称性的瓷砖缝隙。
彭罗斯转向五轴对称，即五角大楼，以创建其非重复模式的平面，部分原因是，他说，五边形“看起来很好看”。彭罗斯瓷砖的显著之处在于，尽管他从五边形的线条和角度衍生出瓷砖，但其形状没有留下令人尴尬的缺口。他们完美地依偎在一起，在飞机上扭来扭去，总是接近于重复，但始终没有达到目的。
这是因为如果彭罗斯写小说工作一个新的动物物种，只能有一个动物学家发现，非常的物种生活在地球上。
彭罗斯瓷砖引起公众注意有两个主要原因。首先，他发现了一种只使用两种类型的瓷砖就可以生成无限变化的图案的方法。其次，更为壮观的是，他的瓷砖是简单、对称的形状，其本身没有表现出任何异常特性的迹象。
彭罗斯制作了几个版本的非周期瓷砖套装。他最著名的作品之一是“风筝”和“飞镖”。风筝看起来像同名的儿童玩具，飞镖看起来像隐形轰炸机的简化轮廓。两者都沿着对称轴清晰地分开，并且在各自的表面上都有两个简单、对称的圆弧。Penrose建立了一个放置规则：对于“合法”瓷砖放置，这些圆弧必须匹配，从而创建连续曲线。如果没有这个规则，风筝和飞镖可以以重复的方式放在一起。按照这条规则，重复永远不会出现。风筝和飞镖永远是瓦片，围绕着它们的五个轴跳舞，创造出星暴和十边形，弯曲的曲线，蝴蝶和花朵。形状重现，但新的变化不断蔓延。
埃德蒙哈里斯，阿肯色大学的助理临床教授在数学研究中，是谁写的博士学位。论文对彭罗斯瓷砖，提供了一个比较。“想象一下，你在这只是由正方形的一片天地，”哈里斯说。“你开始走路，当你到了广场边缘，下一个方块是完全一样的，你知道你会看到，如果你永远走什么。”彭罗斯贴砖具有完全相反的性质。“不管你有多少信息有，你有多少看到的平铺的，你永远无法预测接下来会发生什么。这将是东西，你从来没有见过的。”
平面非周期性划分的一个奇怪方面是，关于定位的信息不知怎么就可以跨越很远的距离进行交流——一个Penrose贴图放置在一个位置，阻止了其他贴图放置在数百(甚至数千甚至数百万)个贴图之外。哈里斯说:“某种程度上，一个局部约束强加了一个全局约束。”“你在没有比例的情况下，这些瓷砖会给你一些周期性的东西。”你可以选择把风筝放在一个地方，或者把飞镖放在一个很远的地方。任何一个瓷砖都可以，但不能两个都可以。
瓷砖形成一个无限的非重复图案，表示斐波那契比率，也称为“黄金比率”。如果较小的数字与较大的数字的比率与较大的数字与两个数字之和的比率相同，则两个数字被称为黄金比率。在这种情况下，风筝面积与省道面积之比就是黄金比例。风筝长边与短边的比例也是黄金比例。
彭罗斯瓷砖也可以细分为更小版本的自己。风筝包括两个较小的风筝和飞镖的两半。甲镖包括一个较小的风筝和飞镖的两半。（在任何有效彭罗斯平铺，所有这些半飞镖排队彼此。在数学上，这使它们能够作为一个整体对待飞镖）“假设我有彭罗斯拼图的补丁，并且具有A.风筝B飞镖,”哈里斯先生说。如果再细分，就有2个A.+B风筝，和A.+B飞镖。”
如果你做这种替代的无数次，你可以计算出每种类型的瓷砖的整体比例，被他们制定了一个永无止境的平面。在这样的计算中，重复图案总是导致合理的比例。如果该比率是无理数，这意味着图案将永远不会完全重复。不仅彭罗斯瓦片产生无理数，它们的关系是斐波那契数比率的飞镖到风筝比是相同的风筝到瓦片的总数的比率。
考虑到从菠萝到兔子，斐波那契在自然界中似乎无处不在，更奇怪的是，这个比例对于一个似乎与物理世界无关的瓷砖系统来说是至关重要的。彭罗斯创造了一种数学上的新奇感，这是一种有趣的东西，正是因为它似乎不像大自然那样工作。就好像他写了一部关于一种新的动物物种的小说，却让动物学家发现了生活在地球上的物种。事实上，彭罗斯瓷砖将黄金比例、我们发明的数学和我们周围世界的数学联系起来。
Penrose不可能知道，当他接受禁止对称时，他是一种精神转变的一部分，这种转变将导致材料科学的一个新领域。毕竟，对称性是纯数学和自然世界的基础。天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）将对称性描述为“解读大自然设计的最基本工具之一”。大自然使用正方形和六边形的原因与人类设计师的相同：它们简单、高效、有序。如果在室内设计中，五边形对于像地砖图案这样简单的东西似乎不切实际，那么它们被认为不可能在晶体等固体材料中形成原子。
晶体是由三维原子晶格组成的。晶体通过添加更多的原子和扩展晶格而生长。当原子以重复模式排列时，这种情况发生得最有效。几十年来，故事就这样结束了：晶体是重复的结构。结束。
1982年，谢赫特曼在国家标准局海法技术大学休假。他在实验室里玩弄铝锰合金。他的晶体结构所产生的衍射图案似乎没有反映出晶体学家已知的任何标准对称性。事实上，这些原子似乎排列成彭罗斯在数学世界中释放出来的五边形、菱形、风筝和飞镖。
“当然，我对Penrose瓷砖很熟悉，”Shechtman说。但他没有理由怀疑他们和他的合金有关。“我不知道它是什么。在接下来的几个月里，我一次又一次地重复我的实验。在我的假期结束时，我确切地知道它不是什么，但我仍然不知道它是什么。”
为了理解他的发现，谢克特曼不得不违背彭罗斯的直觉和传统智慧。他必须接受被禁止的对称和它的五边形的混乱和不重复。回到以色列后，他不情愿地得出了一个结论:他发现了一种不重复的晶体原子结构。虽然他和材料科学领域的任何人一开始都不能把他的发现称为晶体。他们称之为“准晶体”。
准晶具有低摩擦和磨损，这使其成为剃须刀和手术器械的理想涂层。
彭罗斯的奇思妙想的数学似乎迫使自己进入了自然世界。“80年来，晶体被定义为‘有序且周期性’，因为从1912年开始研究的所有晶体都是周期性的，”Shechtman说。“直到1992年，国际结晶学联合会才成立了一个委员会来重新定义‘晶体’。这一新定义是结晶学的范式转变。”
这是更重要的是使得它很难理解和吸收Shechtman的发现仅仅是心理惯性。非周期性晶体结构不只是陌生的;他们被认为是不自然的。请记住，一个彭罗斯瓷砖的位置会影响瓷砖的事情千里之外，局部约束创建全局约束。但是，如果一个晶型原子一个原子，不应该有自然法将允许那种固有的彭罗斯瓷砖限制。
事实证明，晶体并不总是一个原子一个原子地形成。Shechtman说：“在非常复杂的金属间化合物中，单元是巨大的，不是局部的。”。当大块晶体同时形成时，而不是通过逐渐的原子吸积，相距遥远的原子会影响彼此的位置，就像彭罗斯瓷砖一样。
与许多禁忌一样，被禁止的对称最终被认为是自然存在的一种有效形式。准晶不仅成为了一个新的学术研究领域的主题，而且由于其不同寻常的结构，它们被证明具有许多有用的性质。例如，它们不规则的原子结构使它们的表面能很低，这意味着它们没有多少粘附力。因此，准晶涂层已被用于不粘炊具。（当彭罗斯创作他的小说《瓷砖》时，没有理由认为它会对结晶学产生影响，更不用说煎蛋了。）准晶也具有低摩擦和磨损的特性，这使得它们成为剃须刀和外科手术器械或任何接触人体的锋利工具的理想涂层。
由于准晶的结构从不重复，它们通过电磁辐射产生独特的衍射图案。光子学研究人员对它们如何影响光传输、反射率和光致发光感兴趣。如果对它们进行过冷，它们的电阻就会飙升到接近无限的水平。但它们也吸收红外辐射，变得非常热，非常快。这使得它们成为3D打印机非常有价值的添加剂，3D打印机通常使用塑料粉末作为源材料。Shechtman解释说，当一种准周期性粉末混合在一起，并通过红外线照射时，准周期性粉末“迅速升温，熔化周围粘在一起的塑料颗粒。”
没有人知道禁止对称的故事是如何结束的。数学家们继续探索彭罗斯瓷砖的特性。准晶仍然是基础和应用研究的主题。但到目前为止，这是一次难以置信的旅程。在过去的40年里，五轴对称从不切实际到有价值，从不自然到完美自然，从禁止到主流。这是一个转变，我们要感谢两位科学家，他们超越了传统智慧，发现了自然界中一种引人注目的新形式的无限变化。
帕肯·巴斯是多伦多的记者和作家。他目前正在写一本关于纯数学和自然世界之间关系的书。
lead图像由两个图像构成，这两个图像最初在AMES lab/Wikimedia Commons和Parcly Taxel/Wikimedia Commons上找到。
