R记得多米诺理论?一个走向共产主义的国家应该推翻下一个，然后下一个，再下一个。这个比喻在很大程度上推动了美国在20世纪中叶的外交政策。但是它的名字错了。从物理学的角度来看，它应该被称为“沙堆理论”。
现实世界的政治阶段过渡往往不是井然有序地发生，而是突然协调一致地发生，比如阿拉伯之春(Arab Spring)或东方集团(Eastern Bloc)的崩溃。这反映了被危机打断的平静时期——就像沙堆一样。你可以在沙堆的顶部增加一段时间的沙粒，但没有明显的效果。然后，突然，一场雪崩以不规则的方式把沙子从顶部扫下来，可能在它的过程中引发了小的次雪崩。
这个类比不一定能让我们有所收获。毕竟，真正的沙子很难分析，就像真正的政治一样。但奇迹出现了。一种对沙堆的抽象，称为“阿贝尔沙堆模型”，由物理学家Per Bak, Chao Tang和Kurt Wiesenfeld在1987年创造的，似乎捕捉到了真正的沙堆的一些丰富的、混乱的特征，更不用说其他来自生物学、物理学和社会科学的复杂系统，同时保持了足够简单的数学研究。1
我T是这样的。想象一个无限的点网格，每个点上有一小堆沙子。我们可以通过在每个点上写一个数字来记录每个点上有多少沙粒。
但垂直堆积的沙粒只能达到这么高。假设，当4个或更多沙粒在同一个点上时，4个沙粒会倒塌，每个罗盘方向各有一个。所以如果你从这个开始:
左边的那堆东西倒了下来，给了你:
之后右边的那堆也超载了，掉了4粒到它的邻居身上:
此时沙堆是稳定的;任何位置的颗粒都不超过4个，整个过程就会停止。
我怎么知道该先推倒哪一堆呢?好消息:没关系。正如最终构型的对称性所暗示的那样，阿贝尔沙堆的最终状态并不取决于你进行颠覆的顺序。这就是" abel "的意思，也就是"做这个，然后做那个，和做那个，然后做这个是一样的"加法是abel式的:先加2，再加3，等于先加3，再加2。大多数运算不是abel运算。打开车门，拉动门把手，车门就会打开;先拉车门，再打开车门，你会得到一个不同的结果:门关着，车没锁。所以沙堆的abel性质是一个惊喜。
如果你在一个点上堆了很多沙子，比如一百万粒沙子，然后让沙子流，直到倾倒稳定下来，会发生什么?你可能会想象你最终会得到一大堆光滑的沙子，圆点中心附近的一大块区域被三粒沙子填满。
你会想象错了。这是你得到的:
好吧，也许一百万还不足以安定下来:如果你从十亿开始呢?你得到这个:
希望的平滑并没有发生。相反，这些疯狂的分形图案依然存在。在中心附近，有一个复杂的图案，就像一个圆顶的内部镶嵌着格子，不知怎么的，看起来既几何又随机;而在堆的边缘，则是行为更一致的三角形岛屿，以规则的模式互锁。
这就是你能得到的结构看到的。这些图像是由卡内基梅隆大学(Carnegie Mellon)的韦斯·佩格登(Wes Pegden)生成的，他与康奈尔大学(Cornell)的莱昂内尔·莱文(Lionel Levine)和查理·斯马特(Charlie Smart)(不是一个浮华的数学笔名，是他的真名!)的研究处于沙堆研究的前沿。2Pegden有十亿粒沙堆的互动图片在他的网站上．在那里，你可以放大并随心所欲地漫游。你可以直接向对称的可爱的堆的中心:
或者把注意力集中在怪异的外层边缘:
甚至还有更精细的地方结构。每一篇数学文章都应该有一个家庭作业，今天的作业是这样的:检查内部沙堆中相邻的两个点不能同时空解决方案答案)。事实上，我所做的实验表明，更有力的结论可能是正确的:空点不仅不能彼此相邻，它们甚至可能不会出现附近彼此，像带相同电荷的粒子一样相互排斥。
B在你出去用显微镜观察沙丘之前，我应该提醒你，真正的成堆的沙子不会产生这种自发的结构。3.阿贝尔沙堆模型甚至没有试图捕捉实际物理材料的行为。相反，它的所有复杂性都来自于一个抽象，一个简单的确定性算法，您可以用五行代码来描述。这让人想起约翰·康威(John Conway)的《生活的游戏》(Game of Life)，后者也从一个非常简单的规则集产生了丰富的复杂性。阿贝尔沙堆，就像生命游戏一样，是一个细胞自动机:也就是说，一个小宇宙，它的条件可以用计算机能接受的那种离散语言来完全描述。在沙堆中，网格上的每个点得到一个介于0和4之间的数字，而一组简单的规则设置相邻点的值。在《Game of Life》中，状态甚至更简单:每个点要么是“活着”，要么是“死去”，要么是1或0。
但这是有区别的。生命游戏可以被诱导成复杂的行为，但往往需要一点努力。4在这方面，它在细胞自动机中是典型的。另一方面，沙堆似乎在引导自己自动复杂的行为，没有任何特别的努力去建立正确的初始条件。
它通过寻找一个所谓的临界阈值来做到这一点，在临界阈值附近往往会发现复杂的行为。你对自然阈值的概念很熟悉。水在高温下是无序的液体;当温度超过某一临界值时，水发生急剧转变，结晶成冰。对于沙堆来说，与温度类似的是密度:每个点有多少沙子?沙子太多，堆起来就不稳定了，基本上就是一场长时间的雪崩。太少的话，沙子很快就会稳定下来。多少才算太多?答案出乎意料地简单:平均每个点恰好有2.125个颗粒是临界阈值，这是安静和混乱之间的分界线。
值得注意的是，在有限的桌子上的沙堆——任何到达边缘的沙都会从边缘掉落并消失——会调整到每个点2.125粒。假设桌子一开始是空的，你把沙子一粒一粒地放在桌子中央。有一段时间，沙子的图案扩大了，看起来很像佩格登上面的画(描绘了一个无限的表)。你掉一粒，沙子就会沉淀，桌子上又多了一粒。但一旦沙子到达边缘，故事就变了。沙堆接近平衡状态，沙从边缘落下的速度与向中心添加沙的速度相同，密度稳定在临界值。当然，可能会有局部波动，随着系统的发展，密度更大或更小的斑块会来来去去;但在整个表格中，每个点的颗粒数将徘徊在2.125左右。
如果你从一张有限的桌子开始，上面尽可能地布满沙子，每个点上有三颗沙粒，会怎么样呢?这种构型是稳定的。但只是一种非常脆弱的感觉。只要在桌子上的任何地方掉一粒，一场巨大的雪崩就会开始，直到密度再次下降到2.125才会停止。
当表格达到阈值密度时会发生什么?然后沙堆就会处于最有趣的状态。雪崩不断发生，但它们不会造成一种持续的宇宙翻滚状态;相反，它们以海浪的形式出现，频繁发生小规模的雪崩，不时发生罕见的横跨桌面的灾难。雪崩在阈值密度下的分布似乎服从幂律:雪崩的频率与它们的大小成反比。有持续的活动，但这种活动是有组织的，有组织的。更重要的是，沙堆并不需要为了展示其复杂的行为而进行微调;它自动调谐。这就是所谓的“自组织临界性”现象。无论系统从哪里开始，它都会找到临界阈值，并保持在那里，只要新砂以恒定的速度不断添加。
光有照片是不够的:你必须亲眼目睹。美国国家标准与技术研究所的R.M. Dimeo制作了一系列关于沙堆处于临界状态的催眠电影。
在我看来，这是一个活生生的过程。这并非巧合。自组织临界性的概念是一种流行的方式，用来思考丰富的生命结构是如何从自动寻找临界阈值的简单系统中产生的。一些生物学家将自组织临界性视为复杂生物行为的潜在统一理论，它控制着一群鸟同步移动的方式，就像遗传信息控制着单个鸟的发展一样。5“生命系统，”生物理论家斯图亚特·考夫曼写道，“存在于接近混沌边缘的固体体系中，而自然选择实现并维持了这种稳定的状态。”沙堆也是如此。当然，这不是真正的生活。但它很生动，不是吗?
T沙堆，由于是第一个，是研究最多的自组织临界的例子;但还有很多其他的(其中一些在佩格登画廊的其他地方也有描绘)。我们真的不知道是什么规则使得系统不可避免地朝着复杂的临界状态发展，我们也不清楚哪些细胞自动机可能表现出自组织临界状态。
洞察力可能来自于沙堆与数学的其他部分惊人的联系。对于像我这样的几何学家来说，沙堆与新兴的热带几何学领域有关，该领域的目标是通过类似的离散几何现象来模拟连续的几何现象。对于概率主义者来说，沙堆与所谓的生成树密切相关，生成树(在方形网格上)是一个分支路径，它接触网格上的每个点，但不会形成闭合电路。无论洞察力来自哪里，沙堆提醒我们，数学中真正有趣的现象，就像物理中真正有趣的现象，通常发生在相变。正是在那里，我们处于两个不同的数学领域之间，共享这两个领域的特征，跨越边界传递信息。和问题。问题总是比答案多。
乔丹·艾伦伯格(Jordan Ellenberg)是威斯康星大学麦迪逊分校(University of Wisconsin-Madison)的约翰·d·麦克阿瑟(John D. MacArthur)数学教授纽约时报畅销书如何避免错误(2014)和形状（2021）.
参考文献
1.周志强，唐志强，&魏森费尔德。自组织临界:对1/的解释f噪音。物理评论快报59, 381 - 384(1987)。
2.李志强，李志强，李志强。阿贝尔沙堆中的阿波罗结构。岩石力学与工程学报。预印本arXiv: 1208.4839(2014)。
3.混乱、记忆和沙堆中的雪崩。Europhysics字母27, 501 - 506(1994)。
4.第一个复制生物在生命模拟器中诞生。《新科学家》27656 - 7(2010)。
5.生物系统处于临界状态吗?统计物理学报144, 268 - 302(2011)。
本文首次发表于2015年4月的《多米诺骨牌》专刊。
