为什么你的朋友比你的朋友多

T“为什么你的朋友比你的朋友多?”这句话朗朗上口，就像一个对立的解释者的标题:以下是导致你社交生活平淡无奇的原因。听起来更像是纽约时报评论文章而不是学术论文。但事实上，《为什么你的朋友比你的朋友多》是1991年的纸Scott Feld发表在美国社会学杂志．它现在有一些索赔来介绍进入流行文化的所谓“友谊悖论”，研究人员已经习惯了检测早期爆发的传染病和设计有效的疫苗接种战略。一项新研究发表在复杂网络学报，暗示悖论比FELD认为它更细致。

悖论源于我们对网络和平均值的不良直觉。如果你猜你有多少朋友，与你的朋友有朋友的数量，你会如何票价？如果你感到适度，你可能会说这是你的朋友比你更多的朋友。但这也是那些有更多朋友的朋友比你更多的朋友还拥有比自己朋友更多的朋友，以此类推。友谊悖论认为这对每个人都是正确的——平均而言，每个人的朋友比自己的朋友多。

我们有一个悖论中的悖论。

这怎么可能?这个悖论超越了友谊。它适用于任何时候，当你有一个物体网络，其中任意两个物体连接或不连接。数学家称对象为“节点”，称连接为“边”，称整个网络为“图”。如果两个节点由一条边连接，那么它们就是“邻居”，一个节点的邻居的数量称为它的“度”。通过取节点的度并减去其相邻节点的平均度，可以定义节点的某种“净流行度”。例如，如果我和安妮卡、冰雯、卡罗莱纳、达乌德是朋友，安妮卡有(包括我)三个朋友，冰雯有五个朋友，卡罗莱纳有七个朋友，达乌德有五个朋友，那么我的网络人气为:

4 -(3+5+7+5)/4 = -1。

这是一个数学事实，如果你对一个网络中的所有网络人气进行平均，那么这个平均值将是负的:你的朋友拥有的朋友比你多。你更有可能是卡罗莱娜的朋友而不是安妮卡的，因为卡罗莱娜有更多的朋友。如果一个人有很多朋友，其中一个很可能就是你。菲尔德在他的论文中指出，这可能具有心理意义。当人们想知道他们应该有多少朋友时，他们可能会把朋友的数量作为一个比较点，这几乎总是会让他们感到不足。一个2017纸发现了一个“幸福悖论”，并指出这可能与友谊悖论有关——也许你的朋友也比你更快乐，因为他们更受欢迎。

但在一个新的纸来自圣达菲研究所(Santa Fe Institute)和密歇根大学(University of Michigan)的三位研究物理学和网络的研究人员发现，友谊悖论的真相并不像看上去那样令人沮丧。在一些社交网络中，友谊悖论根本没有意义。作者george Cantwell, Alec Kirkley和Mark newman通过将他们的数学结果与30多个真实世界的网络进行比较，包括among，来证实这一点爵士音乐家，合作的科学家，吸毒者,海豚．所以，如果你曾经像菲尔德建议的那样感到沮丧，那就振作起来——现实比标题要复杂得多。你可能比一个数字看起来更受欢迎。

统计人长期以来，有不同的方法来计算某些东西的“平均”，具有不同的优缺点。上面描述的方法我加起了所有值并将所有值除以数字 - 在技术上是“均值”。平均值的一个缺点是它对额外值特别敏感。这通常被称为比尔盖茨效应：如果10位中产阶级人员坐在酒吧和比尔盖茨走进下，那么酒吧的平均收入从五到九位跳跃。然而，这次跳跃并没有真正展示酒吧旅客的真实体验。（除了他们吹嘘，他们喝了比尔盖茨的饮品。）

同样，Cantwell和他的同事给出了一个1000人的例子，这些人彼此都是朋友，除了两个——Avital和Boris。他们俩和其他人都是朋友，但彼此不是。这意味着998个人每人将有999个朋友，2个人每人将有998个朋友。对大多数人来说，网络普及将是:

999 -(999 + 999 +…999 + 998 + 998)/999≈.002

但对于Avital和Boris来说，净受欢迎程度将是:

998 - （999 + 999 + ... + 999 + 999 + 998）/999≈〜0.999

由于比尔盖茨效应，整个朋友网络的平均普遍性将被Avital和Boris拉负责，尽管该网络中的其他人实际上是比他们的朋友更受欢迎。

随机选择一个网络的最简单的方法是选择一个概率，比如25%，给每个两个节点25%的时间有一条边，没有边的时间有75%。这叫做泊松随机图，以法国数学家Siméon泊松的名字命名。Cantwell和他的同事指出，尽管这样一个图的平均净受欢迎度通常在-1左右，这证实了数学上的友谊悖论，但事实上，很大一部分节点会有积极的net-popularity。随着节点的平均邻居数的增大，具有正净人气的节点的比例越来越接近50%。对于这些图表，正如他们所说，“没有意义的‘友谊悖论’适用。”

所以现在我们有一个悖论的悖论;友谊悖论在数学上是真的，但由于比尔盖茨效应，通常没有实际的结果。如果你担心你的受欢迎程度，你该怎么办？放松。尽管Facebook告诉我们，但这是友谊的质量，而不是数量，肯定不是您的平均普及。无论你有什么朋友，享受你的时间。如果你看到比尔盖茨，告诉他给我打电话。

约书亚·霍尔顿是罗斯-胡曼理工学院的数学教授，著有《秘密的数学：从Caesar Cipers到数字加密的密码学。